Dubbio su sviluppo di mc-laurin?
ciao a tutti ragazzi! lunedì ho fatto il primo appello di analisi 1 e oggi sono uscite le soluzioni.. non mi torna una cosa su uno sviluppo.
Bisognava calcolare questo limite:
$lim x->0$ $(sqrt(1-x^4) - cos(2x^2) )$
poi c'era una parte anche al denominatore ma non è importante per quello che devo chiedervi..
usando le asintoticità vedo che $sqrt(1-x^4)$ è asintotico a $1-x^4/2$
e fino qua ci sono..
poi ho sviluppato $cos(2x^2)$ ho scritto che è semplicemente asintotico a $1$ in quanto poi al numeratore veniva:
$1-x^4/2 -1$
$1$ e $-1$ si semplificavano e veniva asintotico a $-x^4/2$
invece nelle soluzioni sviluppa il coseno fino al grado 4..
e quindi viene asintotico a $1-x^4/2 -1 + 2x^4$ e quindi poi diventa asintotico a $3x^4/2$
dovevo sviluppare fino al grado 4 o è giusto fermarsi al primo?
anche perchè nel modo in cui l'ho fatto il limite viene - infinito mentre nelle soluzioni viene + infinito
grazie mille per le risposte
Bisognava calcolare questo limite:
$lim x->0$ $(sqrt(1-x^4) - cos(2x^2) )$
poi c'era una parte anche al denominatore ma non è importante per quello che devo chiedervi..
usando le asintoticità vedo che $sqrt(1-x^4)$ è asintotico a $1-x^4/2$
e fino qua ci sono..
poi ho sviluppato $cos(2x^2)$ ho scritto che è semplicemente asintotico a $1$ in quanto poi al numeratore veniva:
$1-x^4/2 -1$
$1$ e $-1$ si semplificavano e veniva asintotico a $-x^4/2$
invece nelle soluzioni sviluppa il coseno fino al grado 4..
e quindi viene asintotico a $1-x^4/2 -1 + 2x^4$ e quindi poi diventa asintotico a $3x^4/2$
dovevo sviluppare fino al grado 4 o è giusto fermarsi al primo?
anche perchè nel modo in cui l'ho fatto il limite viene - infinito mentre nelle soluzioni viene + infinito
grazie mille per le risposte
Risposte
Il grado quarto che tu invochi come se fosse chissà che oscenità è solo il grado secondo se consideri $2x^2=t$ quindi nel tuo caso non è uno sviluppo così impossibile ed illegittimo! 
Ora.. non voglio darti una spiegazione nettamente "matematica". Voglio solo farti ragionare! Con Mac-Laurin sostituisci a funzioni difficili da gestire funzioni più semplici che in un ben fissato (e moooolto piccolo) intervallo sono equivalenti alle prime. Prova a plottare $cos(2x^2)$ e $y=1$! Capisci cosa intendo? In realtà più gradi aggiungi più precisa è l'approssimazione, ovviamente. Qua interviene Landau che ci dice (esempio) $x^5$ in un intorno di 0 è trascurabile rispetto a $x^4$ e quindi ci aiuta a decidere dove interrompere lo sviluppo. Tu invece hai fatto un troncamento del tutto arbitrario. Avevi un $x^4$ nella stessa espressione quindi sviluppare fino al "quarto grado" non era solo legittimo, era NECESSARIO!
Al contrario avessi avuto un $x^3$ sulla "stessa riga" allora sì, avresti avuto ragione te! Spero di essermi spiegato! Ciao!
Ora.. non voglio darti una spiegazione nettamente "matematica". Voglio solo farti ragionare! Con Mac-Laurin sostituisci a funzioni difficili da gestire funzioni più semplici che in un ben fissato (e moooolto piccolo) intervallo sono equivalenti alle prime. Prova a plottare $cos(2x^2)$ e $y=1$! Capisci cosa intendo? In realtà più gradi aggiungi più precisa è l'approssimazione, ovviamente. Qua interviene Landau che ci dice (esempio) $x^5$ in un intorno di 0 è trascurabile rispetto a $x^4$ e quindi ci aiuta a decidere dove interrompere lo sviluppo. Tu invece hai fatto un troncamento del tutto arbitrario. Avevi un $x^4$ nella stessa espressione quindi sviluppare fino al "quarto grado" non era solo legittimo, era NECESSARIO!
Al contrario avessi avuto un $x^3$ sulla "stessa riga" allora sì, avresti avuto ragione te! Spero di essermi spiegato! Ciao!
ok ti sei spiegato bene e in effetti hai ragione! non era difficile da sviluppare con la sostituzione!
ma quindi ogni volta che mi trovo davanti a uno sviluppo di mc laurin devo sviluppare tutti i termini fino allo stesso grado?
ma quindi ogni volta che mi trovo davanti a uno sviluppo di mc laurin devo sviluppare tutti i termini fino allo stesso grado?
Penso proprio di non aver capito.. Potresti spiegarti meglio per favore? Cosa intendi per parte principale? 
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