Dubbio su sviluppabilità in serie di Taylor di funzione integrale con parametro

[username901]

Salve, avrei un dubbio abbastanza imbarazzante per quanto riguarda il seguente esercizio:
determinare per quali a la funzione
$ f(x) = 1/x^a int_(0)^(x) arctan(t^2)/t dt $
e' sviluppabile in serie di Taylor nel punto $ x_0=0 $ e determinare l'intervallo di convergenza al variare del parametro.

La mia idea era di verificare che il limite della funzione per x tendente a 0 esista finito.
Quindi ho
$ lim_(x->0) f(x) = 1/a lim_(x->0) arctan(x^2)/x^(a-2) = 1/a lim_(x->0)1/x^(a-4) $
sfruttando teorema fondamentale del calcolo integrale e comportamento asintotico.
Sperando di non aver fatto ulteriori errori dovrei ottenere che il limite è finito per $ a<=4 $ .
Basta questa come condizione per la sviluppabilità?
E per quanto riguarda il punto successivo? Suppongo che devo sfruttare il teorema del passaggio al limite sotto integrale.
Quindi
$ 1/x^a int_(0)^(x) sum (-1)^k t^(2k+1)/(t(2k+1)) = 1/x^a sum (-1)^k /(2k+1)int_(0)^(x) t^(2k) dt = 1/x^a sum (-1)^k /(2k+1)x^(2k+1)/(2k+1) $
Anche su questi ultimi calcoli non sono molto sicuro, c'è qualcuno che può illuminarmi?

Grazie mille in anticipo =)

[username901]

Nessuno? Mi scuso per l'up leggermente in anticipo ma è urgente