Dubbio su successione definita per ricorrenza
Ciao, come da titolo sto studiando questa successione definita per ricorrenza:
$ { (a_1 = 1 ),(a_{n+1} = sqrt(a_n^2+ 2) ):} $
Cerco i punti fissi e vedo che non ce ne sono,
studio la $phi(t) = f(t) - t = sqrt(t^2+ 2) - t > 0$ e trovo che è sempre maggiore di zero,
ora il mio dubbio é: la successione diverge sempre a $+oo $ o non ci sono soluzioni?
A volte mi trovo a studiare successioni di questo tipo cioè non trovo punti fissi e le $phi(t)$ sono o sempre maggiori di 0 o sempre minori,
in tal caso vuol dire che non esistono soluzioni o divergono sempre?
Grazie
$ { (a_1 = 1 ),(a_{n+1} = sqrt(a_n^2+ 2) ):} $
Cerco i punti fissi e vedo che non ce ne sono,
studio la $phi(t) = f(t) - t = sqrt(t^2+ 2) - t > 0$ e trovo che è sempre maggiore di zero,
ora il mio dubbio é: la successione diverge sempre a $+oo $ o non ci sono soluzioni?
A volte mi trovo a studiare successioni di questo tipo cioè non trovo punti fissi e le $phi(t)$ sono o sempre maggiori di 0 o sempre minori,
in tal caso vuol dire che non esistono soluzioni o divergono sempre?
Grazie
Risposte
Ho un po' editato il tuo post, fai attenzione al mathml.
Per la matematica prova a farti il solito giochetto grafico per indovinare cosa fa la successione.
Per la matematica prova a farti il solito giochetto grafico per indovinare cosa fa la successione.
"Luca.Lussardi":
Ho un po' editato il tuo post, fai attenzione al mathml.
Grazie del consiglio, ho ancora un po' di difficoltà a scrivere le formule ma imparerò presto!
"Luca.Lussardi":
Per la matematica prova a farti il solito giochetto grafico per indovinare cosa fa la successione.
Ho già fatto il grafico e vedo che in questo caso si ha una sorta di parabola che sta tutta al di sopra della prima bisettrice
e ad un certo punto sembrano incontrarsi come posso interpretare questa cosa?
Non parlavo solo del grafico, ma del disegnare la ricorsione sui grafici. E' un giochetto: prova a partire dal dato iniziale che hai e a disegnare la ricorsione, vedi subito dove vai a finire.
@Giovanni: Forse ti può servire questo link, per il giochetto grafico suggerito da Luca
https://www.matematicamente.it/forum/con ... 48692.html
https://www.matematicamente.it/forum/con ... 48692.html
Ho disegnato la ricorsione sui grafici seguendo i vostri consigli,
se ho capito bene in questo caso dovrebbe finire dove si incontrano i due grafici cioè a $+oo$ e quindi la successione diverge a $+oo$
Ritornando al mio dubbio iniziale: quand'è che invece mi accorgo che non esiste nessuna soluzione?
dato che nei compiti di solito per risolvere questo tipo di esercizi non utilizziamo il grafico,
quindi per capire se non c'è soluzione devo per forza disegnare la ricorsione sul grafico e vedere dove finisce oppure è possibile
capirlo sfruttando solo il fatto che non non ci sono punti fissi e che $phi(t)$ è sempre maggiore di zero?
se ho capito bene in questo caso dovrebbe finire dove si incontrano i due grafici cioè a $+oo$ e quindi la successione diverge a $+oo$
Ritornando al mio dubbio iniziale: quand'è che invece mi accorgo che non esiste nessuna soluzione?
dato che nei compiti di solito per risolvere questo tipo di esercizi non utilizziamo il grafico,
quindi per capire se non c'è soluzione devo per forza disegnare la ricorsione sul grafico e vedere dove finisce oppure è possibile
capirlo sfruttando solo il fatto che non non ci sono punti fissi e che $phi(t)$ è sempre maggiore di zero?
"GiovanniP":potreste darmi la conferma se questo è giusto?
se ho capito bene in questo caso dovrebbe finire dove si incontrano i due grafici cioè a $+oo$ e quindi la successione diverge a $+oo$
"GiovanniP":up
Ritornando al mio dubbio iniziale: quand'è che invece mi accorgo che non esiste nessuna soluzione?
dato che nei compiti di solito per risolvere questo tipo di esercizi non utilizziamo il grafico,
quindi per capire se non c'è soluzione devo per forza disegnare la ricorsione sul grafico e vedere dove finisce oppure è possibile
capirlo sfruttando solo il fatto che non non ci sono punti fissi e che $phi(t)$ è sempre maggiore di zero?
Riguardo all'esercizio posto io farei così:
1) mostra che $a_n$ è monotona crescente.
2) da 1) segue che $a_n$ ammette limite; mostra, per assurdo, che tale limite non può essere finito.
In generale sei liberissimo di utilizzare il metodo grafico, o ogni altro modo che ti consente di intuire correttamente cosa dimostrare.
1) mostra che $a_n$ è monotona crescente.
2) da 1) segue che $a_n$ ammette limite; mostra, per assurdo, che tale limite non può essere finito.
In generale sei liberissimo di utilizzare il metodo grafico, o ogni altro modo che ti consente di intuire correttamente cosa dimostrare.
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