Dubbio su studio differenziabilità
I passi per studiare la differenziabilità in un punto (mi esprimo con un esempio) in $(0,0)$
1 - Verificare che la $f(x,y)$ sia continua in $(0,0)$ , se è continua allora è differenziabile.
2 - Studiare le derivate parziali rispetto a $x$ e $y$. Se esiste finito e continuo il $lim Fx = l ER$ per $(x,y)->(0,y0)$ (Devo calcolare anche per$ (x0,0)$???)
Lo stesso per $lim Fy = l ER$ per $(x,y)->(x0,0)$ (Devo cacolare anche nel punto $(0,y0)$)?
3 - Se le derivate esistono e sono continue posso dire che la f(x,y) è differenziabile, se le derivate parziali non sono continue uso la formula di differenziazione
$ lim f(x+x0,y+y0)-f(x0,y0)-fx(x0,y0)(x-x0)-fy(x0,y0)(y-y0)$
$------------------------------------------------------- = 0$
radice$(x-x0)^2+(y-y0)^2 $
$per (x,y)->(x0,y0)$
La derivita parziale è continua se esiste il suo limite sinistro e destro ed ammette lo stesso valore che essa ammette nel punto.
Quindi non devo verificare che lim Fx = lim Fy nello stesso punto!??
Grazie per una risposta, buona giornata a tutti
1 - Verificare che la $f(x,y)$ sia continua in $(0,0)$ , se è continua allora è differenziabile.
2 - Studiare le derivate parziali rispetto a $x$ e $y$. Se esiste finito e continuo il $lim Fx = l ER$ per $(x,y)->(0,y0)$ (Devo calcolare anche per$ (x0,0)$???)
Lo stesso per $lim Fy = l ER$ per $(x,y)->(x0,0)$ (Devo cacolare anche nel punto $(0,y0)$)?
3 - Se le derivate esistono e sono continue posso dire che la f(x,y) è differenziabile, se le derivate parziali non sono continue uso la formula di differenziazione
$ lim f(x+x0,y+y0)-f(x0,y0)-fx(x0,y0)(x-x0)-fy(x0,y0)(y-y0)$
$------------------------------------------------------- = 0$
radice$(x-x0)^2+(y-y0)^2 $
$per (x,y)->(x0,y0)$
La derivita parziale è continua se esiste il suo limite sinistro e destro ed ammette lo stesso valore che essa ammette nel punto.
Quindi non devo verificare che lim Fx = lim Fy nello stesso punto!??
Grazie per una risposta, buona giornata a tutti
Risposte
"*eleOnOr@*":
1 - Verificare che la $f(x,y)$ sia continua in $(0,0)$ , se è continua allora è differenziabile.
AAAAAAAAAAAAAARRRRRRRRRRRRRRRRGGGGHHH!
(sono stato chiaro?)
ahahaha 
Forse vuoi dire che non è detto che se è continua è differenziabile ma dobbiamo vedere anche le derivate parziali che combinano??
é meglio dire forse che se la funzione non è continua non è differenziabile?
Le altre domande che ho posto?
Forse vuoi dire che non è detto che se è continua è differenziabile ma dobbiamo vedere anche le derivate parziali che combinano??
é meglio dire forse che se la funzione non è continua non è differenziabile?
Le altre domande che ho posto?
"*eleOnOr@*":molto meglio
é meglio dire forse che se la funzione non è continua non è differenziabile?
mmmm alle altre non si puo rispondere? 
Ciao.. spero di non sbagliare dandoti questo procedimento:
Se vuoi verificare che $P(x_0,y_0)$ sia differenziabile in $f(x,y)$:
1) Verifica che la funzione sia continua in P
2) Verifica che la funzione ammetta derivate parziali in P
3) Verifica che $lim_(h_1,h_2->0,0)(f(x_0+h_1,y_0+h_2)-f(x_0,y_0)-f'_x(x_0,y_0)h_1-f'_y(x_0,y_0)h_2)/sqrt(h_1^2+h_2^2)=0$
Ogni punto elencato è una condizione necessaria ma non sufficiente quindi devi verificare in ordine tutto prima di poter affermare che la funzione è differenziabile in $P(x_0,y_0)$
Se hai qualche dubbio sullo sviluppo di uno dei punti posso darti ulteriori info.
Spero comunque di non aver sbagliato nulla.. eventualmente qui sono certo che mi correggeranno xD
Se vuoi verificare che $P(x_0,y_0)$ sia differenziabile in $f(x,y)$:
1) Verifica che la funzione sia continua in P
2) Verifica che la funzione ammetta derivate parziali in P
3) Verifica che $lim_(h_1,h_2->0,0)(f(x_0+h_1,y_0+h_2)-f(x_0,y_0)-f'_x(x_0,y_0)h_1-f'_y(x_0,y_0)h_2)/sqrt(h_1^2+h_2^2)=0$
Ogni punto elencato è una condizione necessaria ma non sufficiente quindi devi verificare in ordine tutto prima di poter affermare che la funzione è differenziabile in $P(x_0,y_0)$
Se hai qualche dubbio sullo sviluppo di uno dei punti posso darti ulteriori info.
Spero comunque di non aver sbagliato nulla.. eventualmente qui sono certo che mi correggeranno xD
Sei stato gentilissimo a rispondere, ma purtroppo non chiarisci i miei dubbi...
"*eleOnOr@*":
Sei stato gentilissimo a rispondere, ma purtroppo non chiarisci i miei dubbi...
Se ho capito bene il tuo dubbio è relativo al punto 2 del mio procedimento? altrimenti dimmi con chiarezza che dubbio hai perchè nel mio procedimento credo ci sia già tutto racchiuso
Si sul punto 2...
Una funzione f(x,y) ammette derivate parziali in $P(x_0,y_0)$ se esistono e sono FINITI i seguenti limiti:
$lim_(h->0)(f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0))/h$
$lim_(k->0)(f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0))/k$
NB: Non è necessario che diano lo stesso risultato ma sono che siano finiti ed esistano
Spero di aver chiarito il tuo dubbio
$lim_(h->0)(f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0))/h$
$lim_(k->0)(f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0))/k$
NB: Non è necessario che diano lo stesso risultato ma sono che siano finiti ed esistano
Spero di aver chiarito il tuo dubbio
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