Dubbio su studio di funzione
Premetto che la cosa è un po lunga.. ovvero vorrei sapere se lo studio di funzione da me fatto è giusto o no.. e capire come si disegna il corrispettivo grafico... Ringrazio tutti in anticipo.
Data la funzione $f(x) = (x^2 - 3) e^x $
1. Calcolare dominio:
$e^x > 0$ è sempre vero perciò considero solo $x^2 - 3$
$x^2-3>0$ quindi $x^2>3$ quindi $x<- sqrt(3)$ e $x>sqrt(3)$
$D(-oo, - sqrt(3)) (sqrt(3), oo)$
2. Studiare segno f
a. $f(x)> 0$ per $ x<- sqrt(3)$ e $x>sqrt(3)$
b. $f(x)< 0$ per $ - sqrt(3)
3. Calcolare limiti agli estremi del dominio e stabilire se ci sono asintoti
a. $\lim_{x \to \ oo} (x^2 - 3) e^x$ $ =$ $oo * oo = oo$
b. $\lim_{x \to \ - oo} (x^2 - 3) e^x$ $=$ $oo *0^+ = oo$
c.$\lim_{x \to \ - sqrt(3)} (x^2 - 3) e^x$ $=$ $(3-3)e^- sqrt(3) = 0$
d.$\lim_{x \to \ sqrt(3)} (x^2 - 3) e^x$ $=$ $(3-3)e^sqrt(3) = 0$
Non ci sono asintoti verticali
Non ci sono asintoti orizzontali
4.Calcolare la derivata prima
$(x^2 - 3) e^x$
$D(x^2 - 3) e^x + D(e^x) (x^2-3)$
$(2x) e^x + e^x (x^2 -3)$
$e^x(x^2 + 2x -3)$
5.Calcolare segno f''
a. f ' >0
$e^x>0$ è sempre vero
$x^2 + 2x -3$ lo risolvo con $(-b +- sqrt(b^2 -4ac))/(2a)$ $=$
$(-2 +- sqrt(16))/2$ $=$ $x<-3$ e $x>1$
Quindi a $-3$ ho un max ed a $1$ ho un min
6. Calcolare derivata seconda
$e^x (x^2 +2x -3)$
$D(e^x)(x^2 +2x -3) + D(x^2 +2x -3) (e^x)$ $=$
$e^x (x^2 + 2x -3) + e^x(2x +2)$ $=$
$e^x (x^2 + 4x -1)$
7.Calcolare segno f ''
$e^x(x^2 + 4x -1) >0$
$e^x>0$ è sempre vero
$x^2 + 4x -1$ lo risolvo con $(-b +- sqrt(b^2 -4ac))/(2a)$ $=$
$(-4 +- sqrt(20))/(2)$ $=$ $x<-2-sqrt(5)$ e $x>-2+sqrt(5)$
Perciò ho concavità verso l'alto $uuu$ da $-oo, -2-sqrt(5)$ e $-2+sqrt(5), oo$
e concavità verso il basso $nnn$ da $-2-sqrt(5), -2+sqrt(5)$
8.Disegnare il grafico della funzione
qui ho dei problemi, con i dati che ho ottenuto non riesco a disegnare il grafico.. perciò magari ho sbagliato qualcosa.. qualcuno di voi sa aiutarmi???
Grazie mille
Data la funzione $f(x) = (x^2 - 3) e^x $
1. Calcolare dominio:
$e^x > 0$ è sempre vero perciò considero solo $x^2 - 3$
$x^2-3>0$ quindi $x^2>3$ quindi $x<- sqrt(3)$ e $x>sqrt(3)$
$D(-oo, - sqrt(3)) (sqrt(3), oo)$
2. Studiare segno f
a. $f(x)> 0$ per $ x<- sqrt(3)$ e $x>sqrt(3)$
b. $f(x)< 0$ per $ - sqrt(3)
3. Calcolare limiti agli estremi del dominio e stabilire se ci sono asintoti
a. $\lim_{x \to \ oo} (x^2 - 3) e^x$ $ =$ $oo * oo = oo$
b. $\lim_{x \to \ - oo} (x^2 - 3) e^x$ $=$ $oo *0^+ = oo$
c.$\lim_{x \to \ - sqrt(3)} (x^2 - 3) e^x$ $=$ $(3-3)e^- sqrt(3) = 0$
d.$\lim_{x \to \ sqrt(3)} (x^2 - 3) e^x$ $=$ $(3-3)e^sqrt(3) = 0$
Non ci sono asintoti verticali
Non ci sono asintoti orizzontali
4.Calcolare la derivata prima
$(x^2 - 3) e^x$
$D(x^2 - 3) e^x + D(e^x) (x^2-3)$
$(2x) e^x + e^x (x^2 -3)$
$e^x(x^2 + 2x -3)$
5.Calcolare segno f''
a. f ' >0
$e^x>0$ è sempre vero
$x^2 + 2x -3$ lo risolvo con $(-b +- sqrt(b^2 -4ac))/(2a)$ $=$
$(-2 +- sqrt(16))/2$ $=$ $x<-3$ e $x>1$
Quindi a $-3$ ho un max ed a $1$ ho un min
6. Calcolare derivata seconda
$e^x (x^2 +2x -3)$
$D(e^x)(x^2 +2x -3) + D(x^2 +2x -3) (e^x)$ $=$
$e^x (x^2 + 2x -3) + e^x(2x +2)$ $=$
$e^x (x^2 + 4x -1)$
7.Calcolare segno f ''
$e^x(x^2 + 4x -1) >0$
$e^x>0$ è sempre vero
$x^2 + 4x -1$ lo risolvo con $(-b +- sqrt(b^2 -4ac))/(2a)$ $=$
$(-4 +- sqrt(20))/(2)$ $=$ $x<-2-sqrt(5)$ e $x>-2+sqrt(5)$
Perciò ho concavità verso l'alto $uuu$ da $-oo, -2-sqrt(5)$ e $-2+sqrt(5), oo$
e concavità verso il basso $nnn$ da $-2-sqrt(5), -2+sqrt(5)$
8.Disegnare il grafico della funzione
qui ho dei problemi, con i dati che ho ottenuto non riesco a disegnare il grafico.. perciò magari ho sbagliato qualcosa.. qualcuno di voi sa aiutarmi???
Grazie mille
Risposte
Partiamo dal dominio:
$f(x)=(x^2+3)e^x$
allora tu studi $e^x>0 , (x^2+3)>0$ perchè?!
ti ricordo che studiare il dominio significa studiare tutte quelle condizioni che ti portano a trovare l'insieme dei valori per cui la funzione esiste. $e^x$ esiste in tutto $RR$, e lo dimostra anche il suo grafico. $(x^2-3)$ idem, in quanto è una funzione lineare di secondo grado, in geometria analitica una parabola, ed esiste sempre.
$f(x)=(x^2+3)e^x$
allora tu studi $e^x>0 , (x^2+3)>0$ perchè?!
ti ricordo che studiare il dominio significa studiare tutte quelle condizioni che ti portano a trovare l'insieme dei valori per cui la funzione esiste. $e^x$ esiste in tutto $RR$, e lo dimostra anche il suo grafico. $(x^2-3)$ idem, in quanto è una funzione lineare di secondo grado, in geometria analitica una parabola, ed esiste sempre.
A ok.. ho capito.. quindi il dominio è tutto R?? ok! D$=(-oo , +oo)$
Ma la stessa cosa valeva anche se avevo $x^2 -4$ o in questo caso sarebbe stato tutto R tranne $-2$ e $2$ ??
e poi il resto??
Ma la stessa cosa valeva anche se avevo $x^2 -4$ o in questo caso sarebbe stato tutto R tranne $-2$ e $2$ ??
e poi il resto??
Allora dalla definizione di dominio che ti ho dato prima devi imparare a classificare le funzione. Una funzione polinomiale intera (senza denominatore) esiste sempre, non ci sono valori che implicano la sua Non esistenza. In tutti i modi, prendi il libro di teoria e riguardati le cose di base, altrimenti è inutile iniziare uno studio di funzione.
PS
Fai attenzione che la Non Esistenza $!=$ annullamento della funzione
PS
Fai attenzione che la Non Esistenza $!=$ annullamento della funzione
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