Dubbio su studio di funzione

[JackPirri]

Ciao,sto studiando la funzione $y=(x^3)/(|x^2-1|)$.Quando studio la derivata prima( "della seconda funzione" ovvero$x^3/(1-x^2)$) e la pongo uguale a zero per trovare eventuali punti stazionari e quindi probabili punti di massimo o di minimo relativo, trovo $x=0$.Quando pongo la derivata maggiore di zero, risulta perç che la funzione é sempre crescente e che dunque non ci sono punti di estremo relativo.E il punto x=0?Grazie

[feddy]

Leggendo la tua domanda velocemente non è che sia proprio chiaro quello che vuoi sapere.
Ad ogni modo la funzione è dispari: quando puoi evitare di scrivere esplicitamente il valore assoluto, fallo.
Si tratta solo di studiare $f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}, \quad \text{per x} \geq 0$, che dovresti aver fatto. (Credo che sia quella che tu chiami "seconda" funzione)

[pilloeffe]

Ciao JackPirri,

"JackPirri":Quando pongo la derivata maggiore di zero, risulta però che la funzione é sempre crescente e che dunque non ci sono punti di estremo relativo

Temo che ciò sia falso...
Come giustamente ti ha suggerito feddy, considerando la funzione per $x \ge 0 $ (la parte per $x < 0 $ è simmetrica rispetto all'origine), essa mi risulta crescente per $0 < x < 1 $, poi c'è un asintoto verticale di equazione $x = 1 $; per $x > 1 $ la funzione è decrescente fino al punto di minimo $(sqrt{3}, frac{3 sqrt{3}}{2}) $ e poi di nuovo crescente per $x > sqrt{3} $

"JackPirri":E il punto x=0?

Non è né un punto di massimo né un punto di minimo relativo.

[JackPirri]

Ciao e grazie per essere intervenuti.Cerco di spiegarmi meglio.Distinguo due casi:quando $x>0$ e quando $x<0$.La funzione diventa rispettivamente $(x^3)/(x^2-1)$ e $(x^3)/(1-x^2)$.Per seconda funzione ( che è un termine bruttissimo oltre che sbagliato) intendo appunto $(x^3)/(1-x^2)$.Quando pongo la derivata prima uguale a 0,mi esce $x=0$.Quando la pongo maggiore di zero invece risulta $(-x^2(x^2-3))/(1-x^2)^2)$.$-x^2>0$ mai, $x^2-3>0$per valori che non appartengono al dominio dunque non li considero e ,infine,$(1-x^2)^2>0$lo è sempre.Riportando il tutto sulla retta dei reali mi esce che la derivata è positiva per $-1

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[JackPirri]

"pilloeffe":Ciao JackPirri,
[quote="JackPirri"]Quando pongo la derivata maggiore di zero, risulta però che la funzione é sempre crescente e che dunque non ci sono punti di estremo relativo

Temo che ciò sia falso...
Come giustamente ti ha suggerito feddy, considerando la funzione per $x \ge 0 $ (la parte per $x < 0 $ è simmetrica rispetto all'origine), essa mi risulta crescente per $0 < x < 1 $, poi c'è un asintoto verticale di equazione $x = 1 $; per $x > 1 $ la funzione è decrescente fino al punto di minimo $(sqrt{3}, frac{3 sqrt{3}}{2}) $ e poi di nuovo crescente per $x > sqrt{3} $

"JackPirri":E il punto x=0?

Non è né un punto di massimo né un punto di minimo relativo.[/quote]
Quella che intendi tu è la forma che la funzione assume per $x>0$(sempre nel mio caso).Nell'intervallo che dici ,ovvero $0

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[pilloeffe]

"JackPirri":Quella che intendi tu è la forma che la funzione assume per $x > 0 $(sempre nel mio caso)

No. Dalla definizione di modulo o valore assoluto si ha:

$|x^2 - 1| = {(x^2 - 1, text{ se } x^2 - 1 > 0 iff x < - 1 vv x > 1),(1 - x^2, text{ se } - 1 < x < 1):} $

Ora, siccome come ti ha già scritto giustamente feddy la funzione proposta $f(x) := frac{x^3}{|x^2 - 1|} $ è dispari, infatti

$ f(- x) = frac{(-x)^3}{|(-x)^2 - 1|} = - frac{x^3}{|x^2 - 1|} = - f(x) $

ci si può astutamente limitare a studiarla nell'intervallo $x > 0 $, perché il grafico per $x < 0 $ si ottiene subito per simmetria rispetto all'origine, ed in tale intervallo si ha:

$ {(frac{x^3}{x^2 - 1}, text{ se } x > 1),(frac{x^3}{1 - x^2}, text{ se } 0 < x < 1):} $

"JackPirri":Nell'intervallo che dici, ovvero $ 0

Vorrei farti cortesemente notare che la funzione $f(x) $ proposta ha dominio $ D = \RR - \{-1, 1\} $ o se preferisci $ D = (-\infty, - 1) \uu (- 1, 1) \uu (1, + infty) $ e codominio $C = \RR $

[JackPirri]

"pilloeffe":[quote="JackPirri"]Quella che intendi tu è la forma che la funzione assume per $x > 0 $(sempre nel mio caso)

No. Dalla definizione di modulo o valore assoluto si ha:

$|x^2 - 1| = {(x^2 - 1, text{ se } x^2 - 1 > 0 iff x < - 1 vv x > 1),(1 - x^2, text{ se } - 1 < x < 1):} $

Ora, siccome come ti ha già scritto giustamente feddy la funzione proposta $f(x) := frac{x^3}{|x^2 - 1|} $ è dispari, infatti

$ f(- x) = frac{(-x)^3}{|(-x)^2 - 1|} = - frac{x^3}{|x^2 - 1|} = - f(x) $

ci si può astutamente limitare a studiarla nell'intervallo $x > 0 $, perché il grafico per $x < 0 $ si ottiene subito per simmetria rispetto all'origine, ed in tale intervallo si ha:

$ {(frac{x^3}{x^2 - 1}, text{ se } x > 1),(frac{x^3}{1 - x^2}, text{ se } 0 < x < 1):} $

"JackPirri":Nell'intervallo che dici, ovvero $ 0

Vorrei farti cortesemente notare che la funzione $f(x) $ proposta ha dominio $ D = \RR - \{-1, 1\} $ o se preferisci $ D = (-\infty, - 1) \uu (- 1, 1) \uu (1, + infty) $ e codominio $C = \RR $[/quote]
Per quanto riguarda la definizione di valore assoluto:mea culpa, sul quaderno ho scritto come hai giustamente scritto tu ma poi qua ho scritto per$x>0$ invece di $x^2-1>0$etc.

Per quanto riguarda il dominio della funzione:sì è vero ma io la ho sdoppiata e ho sdoppiato quindi anche il dominio.Seguendo il mio metodo (coiè studiare anche il caso $x^2-1<0$ risulta che il dominio di questa"seconda funzione" è$-1

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[pilloeffe]

La "seconda funzione", come la chiami tu, non è altro che la funzione proposta nell'intervallo $- 1 < x < 1 $. Siccome però la funzione proposta è dispari, si era detto che conviene limitarsi a studiarla per $ x > 0 $, ed ecco che si arriva all'intervallo $0 < x < 1 $ precedentemente citato. La derivata della "seconda funzione", come la chiami tu, è la seguente:

$ - frac{x^2(x^2 - 3)}{(1 - x^2)^2} $

Tale derivata è sempre positiva per $ 0 < x < 1 $, dunque in tale intervallo la funzione proposta è crescente come già scritto nel mio post precedente. Ora prova a vedere cosa accade per $x > 1 $, ove la funzione da considerare è $ frac{x^3}{x^2 - 1} $

[JackPirri]

E' consentito inviare un'immagine del grafico che ho disegnato per correggerlo?

[pilloeffe]

Facciamo così: ti invio io un link al grafico della funzione e poi tu correggi il tuo...
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3%2F(abs(x%5E2+-+1))