Dubbio su studio di funzione
salve a tutti ho un dubbio su uno studio di funzione...
$f(x)=|log(x^2-1)+x^2|$
spezzo il modulo in : $f(x)=log(x^2-1)+x^2$ quando tutta questa quantità è >=0
invece $f(x)=-log(x^2-1)-x^2$ quando la quantità tra il modulo è <=0
non potendo risolvere le disequazioni...come faccio a trovare i valori per i quali la funzione mi risulti >=0 o <=0?
in poche parole quando vado a fare i limiti...come faccio a decidere quale pezzo devo scegliere?
$f(x)=|log(x^2-1)+x^2|$
spezzo il modulo in : $f(x)=log(x^2-1)+x^2$ quando tutta questa quantità è >=0
invece $f(x)=-log(x^2-1)-x^2$ quando la quantità tra il modulo è <=0
non potendo risolvere le disequazioni...come faccio a trovare i valori per i quali la funzione mi risulti >=0 o <=0?
in poche parole quando vado a fare i limiti...come faccio a decidere quale pezzo devo scegliere?
Risposte
Puoi ragionare valutando come sia fatta la funzione $g(x)$ argomento del valore assoluto. Osserva per prima cosa che tale funzione è pari: pertanto basta studiarla su $D_1=(1,+\infty)$ (il dominio complessivo è $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$. Ora osserva che
$$\lim_{x\to 1^+} g(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty} g(x)=+\infty$$
e inoltre
$$g'(x)=\frac{2x}{x^2-1}+2x=\frac{2x^3}{x^2-1}>0$$
per $x>1$. Per il teorema di esistenza degli zeri, segue che la $g$ è sempre crescente su $D_1$ e quindi ammette un'unica intersezione con gli assi in un punto $\alpha>1$. Vista la simmetria, vi sarà un punto $-\alpha< -1$ dove accade la stessa cosa. In definitiva puoi concludere che
$$g(x)\ge 0\ \Leftrightarrow\ x\in(-\infty,-\alpha]\cup[\alpha,+\infty)\\ g(x)<0\ \Leftrightarrow\ x\in(-\alpha,-1)\cup(1,\alpha)$$
Ricorda inoltre che $g(\pm\alpha)=0$ (può essere utile per la derivata di $f$).
P.S.: in realtà, facendo un semplice ragionamento su come si comporta il valore assoluto, basta fare lo studio di $g(x)$ e il suo grafico per capire come è fatto il grafico di $f(x)$.
$$\lim_{x\to 1^+} g(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty} g(x)=+\infty$$
e inoltre
$$g'(x)=\frac{2x}{x^2-1}+2x=\frac{2x^3}{x^2-1}>0$$
per $x>1$. Per il teorema di esistenza degli zeri, segue che la $g$ è sempre crescente su $D_1$ e quindi ammette un'unica intersezione con gli assi in un punto $\alpha>1$. Vista la simmetria, vi sarà un punto $-\alpha< -1$ dove accade la stessa cosa. In definitiva puoi concludere che
$$g(x)\ge 0\ \Leftrightarrow\ x\in(-\infty,-\alpha]\cup[\alpha,+\infty)\\ g(x)<0\ \Leftrightarrow\ x\in(-\alpha,-1)\cup(1,\alpha)$$
Ricorda inoltre che $g(\pm\alpha)=0$ (può essere utile per la derivata di $f$).
P.S.: in realtà, facendo un semplice ragionamento su come si comporta il valore assoluto, basta fare lo studio di $g(x)$ e il suo grafico per capire come è fatto il grafico di $f(x)$.
grazie mille 
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