Dubbio su somma di serie

[pannaSmontata1]

Buonasera a tutti,

vorrei chiedervi un parere sul seguente esercizio risolto. Ho provato a fare i calcoli diverse volte ma non mi "torna" il risultato finale, ditemi un po' voi...

Non scrivo tutti i passaggi dell'esercizio svolto per questioni di lunghezza, vi riporto solo i punti che non mi sono chiari:

[tex]\frac{1}{8} + \sum_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{3}{2} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}} + \frac{3}{\pi^{4}n^{4}} (1-(-1)^{n}) \right) = 0[/tex]

qui ho il mo primo problema, non riesco a capire come il valore di questa somma vada a $0$

Ho provato a scomporre la serie in vari modi (ad esempio il seguente), ma non riesco a ricondurmi a serie notevoli che mi possano aiutare.

[tex]\frac{1}{8} + \frac{3}{2\pi^{2}}\sum_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{(-1)^{n}}{n^{2}} \right) + \frac{3}{\pi^{4}}\sum_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{1}{n^{4}} (1-(-1)^{n}) \right)[/tex]


Allo stesso modo ho una seconda serie
[tex]\frac{1}{8} + \sum_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{3}{2} \frac{1}{n^{2}\pi^{2}} - \frac{3}{\pi^{4}n^{4}} (1-(-1)^{n}) \right) = \frac{1}{2}[/tex]

per la quale ho il medesimo problema, suppongo però che la tecnica sia la stessa.


Qualcuno potrebbe darmi una mano?

Grazie e saluti

[albertobosia]

credo che per il primo tu possa fare così:

"pannaSmontata":[tex]\frac{1}{8} + \frac{3}{2\pi^{2}}\sum_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{(-1)^{n}}{n^{2}} \right) + \frac{3}{\pi^{4}}\sum_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{1}{n^{4}} (1-(-1)^{n}) \right)[/tex]

\(\displaystyle\sum_{-\infty}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}=2\sum_1^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}=-2\sum_1^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}=-2\eta(2)=-2\frac{\pi^2}{12}=-\frac{\pi^2}6\)


\(\displaystyle\sum_{-\infty}^\infty\frac{1-(-1)^n}{n^4}=\sum_{-\infty}^\infty\frac1{n^4}-\sum_{-\infty}^\infty\frac{(-1)^n}{n^4}=2\sum_1^\infty\frac1{n^4}-2\sum_1^\infty\frac{(-1)^n}{n^4}=2\sum_1^\infty\frac1{n^4}+2\sum_1^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^4}=\)
\(\displaystyle=2\zeta(4)+2\eta(4)=2\frac{\pi^4}{90}+2\frac{7\pi^4}{720}=\frac{\pi^4}{24}\)


\(\displaystyle\frac18+\frac3{2\pi^2}\cdot-\frac{\pi^2}6+\frac3{\pi^4}\cdot\frac{\pi^4}{24}=\frac18-\frac14+\frac18=0\)

[pannaSmontata1]

Grazie Alberto per la risposta!

Mi puoi solo spiegare ancora cosa intendi esattamente con i simboli: [tex]\eta(2)[/tex], [tex]\zeta(2)[/tex] e [tex]\eta(4)[/tex]? Non conosco questa notazione...

[albertobosia]

sono la funzione \(\eta\) di dirichlet e la funzione \(\zeta\) di riemann, strettamente legate tra loro.
\(\displaystyle\eta(z)=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k^z}\)
\(\displaystyle\zeta(z)=\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^z}\)
i primi valori sono considerabili "notevoli", certamente saprai a memoria che \(\displaystyle\zeta(2)=\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}=\frac{\pi^2}6\)
gli altri valori sono reperibili su alcune tavole, per esempio qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_eta_function#Particular_values