Dubbio su soluzioni di equazioni differenziali

[caffè1]

Ho cambiato titolo del messaggio perchè così si capisce meglio.
Avevo postato questo quesito qualche giorno fa, e non ha risposto nessuno.
Ora ho anche il sospetto che il mio dubbio sia così stupido da non meritare neanche una risposta.
Se così è vero, vuol dire che sono proprio messo male...

Riprendo l'argomento, che era sulle soluzioni singolari delle equazioni dfferenziali.
Il libro cita: "Consideriamo alcuni punti singolari tipici. sia data l'equazione

$dy/dx=(2y)/x$.

I secondi membri dell'equazione data e dell'equazione

$dx/dy=x/(2y)$

sono discontinui nel punto $x=0, y=0$.

Integrando l'equazione otteniamo una famiglia di parabole, $y=cx^2$, e $x=0$. Si dice nodo etc..."

Quello che non mi torna è quella soluzione x=0. Da dove salta fuori?
Nella prima equazione, semmai, avrei detto che abbiamo anche la soluzione y=0. Infatti per y=0 entrambi i membri sono uguali a zero.
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Un altro esempio, un altro dubbio: "Sia data l'equazione

$dy/dx=-y/x$.

"I secondi membri di questa equazione e dell'equazione $dx/dy=-x/y$ sono discontinui nel punto $x=0, y=0$.
Integrando l'equazione si ottiene una famiglia di iperboli $y=c/x$ e la retta $x=0$. Nell'origine delle coordinate si trova un punto singolare che si dice sella."

Anche qui non mi torna quel x=0. Da dove salta fuori?

grazie a chiunque avrà desiderio di aiutarmi e non infierirà nel dirmi che sono stupido. Lo so già.

[tyler861]

Ciao!
Il testo dice "sono punti singolari..." non dice "$x=0$ e' soluzione...e' un po' diverso... la soluzione della prima e' una parabola che di per se' e' definita ovunque, ma bisogna stare attenti che in punto $x=0$ annulla un denominatore...idem per la seconda... Nota bene che $\frac{d y}{d x}=\frac{2y}{x}$ e' una equazione differenziale e che quindi la soluzione e' una funzione non un valore ( a meno che l'unica soluzione sia costante). Spero di essere stato chiaro!

[caffè1]

"tyler86":Il testo dice "sono punti singolari..." non dice "$x=0$ e' soluzione...e' un po' diverso...

Dopo il tuo messaggio mi sono riletto attentamente il testo. Hai ragione. Inoltre la tua osservazione unita ai miei dubbi mi ha spinto a rivedere un pò tutta la questione dei punti singolari, integrali singolari e dintorni, che sta a dimostrare che al riguardo devo ancora "masticare" parecchio.

Grazie e ciao