Dubbio su sistema. please aiutatemi

[andreareina1]

scusate se il linguaggio non è appropriato, ma è la prima volta che posto e avrei bisogno di una mano per risolvere questo sistema.

Si determinino gli estremi relativi della funzione
f(x; y) = exp((1 - xy)(y^2 - x^2)) +7

ho fatto le derivate parziali prime ma non riesco a risolvere questo sistema... è per trovare i punti critici della funzione....
sistema:
-y·(y^2 - x^2 ) - 2x·(1 - xy) = 0
-x·(y^2 - x^2 ) + 2y·(1 - xy) = 0


per favore mi potete aiutare spiegandomi i passaggi.
grazie in anticipo

[ciampax]

Se ho capito bene, la funzione è questa: $f(x,y)=e^{(1-xy)(y^2-x^2)}+7$. Pertanto le derivate parziali da porre pari a zero sono

$-y(y^2-x^2)-2x(1-xy)=0,\qquad -x(y^2-x^2)+2y(1-xy)=0$

Sommando e sottraendo membro a membro queste due equazioni ottieni il sistema equivalente

$-(y+x)(y^2-x^2)-2(x-y)(1-xy)=0,\qquad (x-y)(y^2-x^2)-2(x+y)(1-xy)=0$

che può essere riscritto, scomponendo $y^2-x^2=(y-x)(y+x)$ come

$(y+x)^2(x-y)-2(x-y)(1-xy)=0,\qquad -(x-y)^2(x+y)-2(x+y)(1-xy)=0$

da cui raccogliendo

$(x-y)[(x+y)^2-2+2xy]=0,\qquad (x+y)[(x-y)^2+2-2xy]=0$

Dalla prima equazione, se $x-y=0$ e cioè $x=y$, sostituendo nella seconda si ha

$2y[2-2y^2]=0$

e tale equazione si annulla solo per $y=0,\ y=\pm 1$: pertanto si hanno le soluzioni $(0,0),\ (-1,-1),\ (1,1)$.

Dalla seconda, se $x+y=0$ e cioè $x=-y$, sostituendo nella prima si ha

$-2y[-2-2y^2]=0$

e tale equazione si annulla solo per $y=0$: pertanto si ha la soluzione $(0,0)$.

P.S.: ti consiglio di imparare ad usare il codice per le formule e leggere il regolamento.