Dubbio su sistema linearmente indipendente di funzioni
Ariciao a tutti,
sempre per il famigerato test universitario (pot "Dubbio sul dominio di un integrale doppio") mi è sorto un dubbio su di un sisteme linearmente indipendente. So che dovrei postare l'argomento nell'area di algebra lineare ma i vettori in questione sono delle funzioni...la domanda era questa: i vettori \(\displaystyle sin(x), cos(x), sin(13x), cos(13x)\) formano un sistema linearmente indipendente? Non usare l'ortogonalità.
Allora io mi ricordo che per verificare se delle funzioni formano un sistema linearmente indipendente bisogna trovarsi $intf(x)*g(x) dx = 0$, quindi in questo caso ho calcolato i sei integrali (penso di aver fatto bene no?). Però mi è sorto un dubbio: calcolarne l'integrale e vedere se è uguale a zero non significa proprio verificarne l'ortogonalità?
sempre per il famigerato test universitario (pot "Dubbio sul dominio di un integrale doppio") mi è sorto un dubbio su di un sisteme linearmente indipendente. So che dovrei postare l'argomento nell'area di algebra lineare ma i vettori in questione sono delle funzioni...la domanda era questa: i vettori \(\displaystyle sin(x), cos(x), sin(13x), cos(13x)\) formano un sistema linearmente indipendente? Non usare l'ortogonalità.
Allora io mi ricordo che per verificare se delle funzioni formano un sistema linearmente indipendente bisogna trovarsi $intf(x)*g(x) dx = 0$, quindi in questo caso ho calcolato i sei integrali (penso di aver fatto bene no?). Però mi è sorto un dubbio: calcolarne l'integrale e vedere se è uguale a zero non significa proprio verificarne l'ortogonalità?
Risposte
Infatti tu stai verificando l'ortogonalità. Il tuo procedimento purtroppo è sbagliato. Rivediti la definizione di "sistema linearmente indipendente" e cerca di verificarla. Prova a consultare questo vecchio link:
indipendenza-lineare-di-funzioni-continue-t31793.html
indipendenza-lineare-di-funzioni-continue-t31793.html
Se non ricordo male l'indipendenza lineare ( in un dato intervallo) di n funzioni si può provare calcolando il cosiddetto wronskiano W che è il det della matrice \(\displaystyle n \times n \) che porta nella prima riga le funzioni date e nelle n-1 righe successive le derivate delle medesime funzioni ,da quella di ordine 1 fino a quella di ordine n-1. Se tale det è diverso da 0 in ogni punto dell'intervallo ( per esempio se è una costante non nulla ) allora le funzioni date sono linearmente indipendenti.Il calcolo è certamente faticoso ( specie se le funzioni sono parecchie ) ma non richiede trucchi...esasperati ed esasperanti 
Nel caso tuo,ponendo per semplicità di scrittura a=13, W è :
\(\displaystyle W=det\begin{pmatrix} \sin x & \cos x & \sin ax &\cos ax \\ \cos x& -\sin x& a\cos ax & -a\sin ax \\ -\sin x&-\cos x&-a^2\sin ax &-a^2\cos ax \\ -\cos x&\sin x&-a^3\cos ax &a^3\sin ax \end{pmatrix} \)
Sommando la terza riga alla prima e la quarta alla seconda abbiamo:
\(\displaystyle W=det\begin{pmatrix} 0& 0 & (1-a^2)\sin ax &(1-a^2)\cos ax \\ 0& 0& a(1-a^2)\cos ax & -a(1-a^2)\sin ax \\ -\sin x&-\cos x&-a^2\sin ax &-a^2\cos ax \\ -\cos x&\sin x&-a^3\cos ax &a^3\sin ax \end{pmatrix} \)
Sviluppando secondo la prima riga :
\(\displaystyle W= (1-a^2)\sin ax \cdot det\begin{pmatrix}0&0& -a(1-a^2)\sin ax\\-\sin x&-\cos x&-a^2\cos ax \\ -\cos x &\sin x&a^3\sin ax \end{pmatrix} -(1-a^2)\cos ax \cdot det\begin{pmatrix}0&0& a(1-a^2)\cos ax\\-\sin x&-\cos x&-a^2\sin ax \\ -\cos x &\sin x&-a^3\cos ax \end{pmatrix}\)
Infine :
\(\displaystyle W=-a(1-a^2)^2\sin^2ax \cdot (-1)-a(1-a^2)^2\cos^2ax\cdot(-1)=a(1-a^2)^2=13\cdot168^2 \)
Pertanto ,essendo W una costante non nulla,le quattro funzioni proposte sono linearmente indipendenti in tutto R.
Nel caso tuo,ponendo per semplicità di scrittura a=13, W è :
\(\displaystyle W=det\begin{pmatrix} \sin x & \cos x & \sin ax &\cos ax \\ \cos x& -\sin x& a\cos ax & -a\sin ax \\ -\sin x&-\cos x&-a^2\sin ax &-a^2\cos ax \\ -\cos x&\sin x&-a^3\cos ax &a^3\sin ax \end{pmatrix} \)
Sommando la terza riga alla prima e la quarta alla seconda abbiamo:
\(\displaystyle W=det\begin{pmatrix} 0& 0 & (1-a^2)\sin ax &(1-a^2)\cos ax \\ 0& 0& a(1-a^2)\cos ax & -a(1-a^2)\sin ax \\ -\sin x&-\cos x&-a^2\sin ax &-a^2\cos ax \\ -\cos x&\sin x&-a^3\cos ax &a^3\sin ax \end{pmatrix} \)
Sviluppando secondo la prima riga :
\(\displaystyle W= (1-a^2)\sin ax \cdot det\begin{pmatrix}0&0& -a(1-a^2)\sin ax\\-\sin x&-\cos x&-a^2\cos ax \\ -\cos x &\sin x&a^3\sin ax \end{pmatrix} -(1-a^2)\cos ax \cdot det\begin{pmatrix}0&0& a(1-a^2)\cos ax\\-\sin x&-\cos x&-a^2\sin ax \\ -\cos x &\sin x&-a^3\cos ax \end{pmatrix}\)
Infine :
\(\displaystyle W=-a(1-a^2)^2\sin^2ax \cdot (-1)-a(1-a^2)^2\cos^2ax\cdot(-1)=a(1-a^2)^2=13\cdot168^2 \)
Pertanto ,essendo W una costante non nulla,le quattro funzioni proposte sono linearmente indipendenti in tutto R.
Il tuo ragionamento è corretto: infatti un sistema di vettori non nulli a due a due ortogonali sono anche linearmente indipendenti. In dettaglio posto :
\[1) a \sin (x)+b \cos (x)+c \sin (13 x)+d \cos (13 x)=0\]
moltiplicando per \(\sin(x)\) e integriando tra \(0 \) e \(\pi\) otteniamo :
\[ \frac{1}{2}a\pi=0\]
moltiplicando per \(\cos(x)\) e integriando tra \(0 \) e \(\pi\) otteniamo :
\[ \frac{1}{2}b\pi=0\]
moltiplicando per \(\sin(13x)\) e integriando tra \(0 \) e \(\pi\) otteniamo :
\[ \frac{1}{2}c\pi=0\]
moltiplicando per \(\cos(13x)\) e integriando tra \(0 \) e \(\pi\) otteniamo :
\[ \frac{1}{2}b\pi=0\]
Quindi \[a=b=c=d=0\]
Propongo un'altra dimostrazione di indipendenza.
Ponendo \(x=0\) nella 1) otteniamo :
\[b+d=0\]
Ponendo \(x=\frac{1}{2}\pi\) nella 1) otteniamo:
\[a+c=0\]
Eliminando \(c\) e \(d\) otteniamo:
\[a(\sin(13x)-\sin(x))+b(\cos(13x)-\cos(x))=0\]
e applicando le formule di prostaferesi:
\[\sin(6x)(a\cos(7x)-b\sin(7x))=0\]
La precedente equazione, valida per ogni x reale, implica:
\[2) a\cos(7x)-b\sin(7x)=0\]
La 2) è valida non solo per \(\sin(6x)\neq 0\), ma per continuità, essa vale per ogni \(x\).
Ponendo \(x=0\) nella 2) otteniamo: \(a=0\) e quindi anche \(b=0\).
\[1) a \sin (x)+b \cos (x)+c \sin (13 x)+d \cos (13 x)=0\]
moltiplicando per \(\sin(x)\) e integriando tra \(0 \) e \(\pi\) otteniamo :
\[ \frac{1}{2}a\pi=0\]
moltiplicando per \(\cos(x)\) e integriando tra \(0 \) e \(\pi\) otteniamo :
\[ \frac{1}{2}b\pi=0\]
moltiplicando per \(\sin(13x)\) e integriando tra \(0 \) e \(\pi\) otteniamo :
\[ \frac{1}{2}c\pi=0\]
moltiplicando per \(\cos(13x)\) e integriando tra \(0 \) e \(\pi\) otteniamo :
\[ \frac{1}{2}b\pi=0\]
Quindi \[a=b=c=d=0\]
Propongo un'altra dimostrazione di indipendenza.
Ponendo \(x=0\) nella 1) otteniamo :
\[b+d=0\]
Ponendo \(x=\frac{1}{2}\pi\) nella 1) otteniamo:
\[a+c=0\]
Eliminando \(c\) e \(d\) otteniamo:
\[a(\sin(13x)-\sin(x))+b(\cos(13x)-\cos(x))=0\]
e applicando le formule di prostaferesi:
\[\sin(6x)(a\cos(7x)-b\sin(7x))=0\]
La precedente equazione, valida per ogni x reale, implica:
\[2) a\cos(7x)-b\sin(7x)=0\]
La 2) è valida non solo per \(\sin(6x)\neq 0\), ma per continuità, essa vale per ogni \(x\).
Ponendo \(x=0\) nella 2) otteniamo: \(a=0\) e quindi anche \(b=0\).
@erotvlas:
1) se per esempio ho quattro funzioni ( $ f(x), g(x), h(x), s(x) $ ), ma solo due o tre sono tra loro linearmente indipendenti ( quindi $ intf(x)*g(x)=0, intf(x)*h(x)=0, intg(x)*h(x)=0 $, ma $ intf(x)*s(x)=infty, intg(x)*s(x)=infty, inth(x)*s(x)=infty $ ) allora non formano un sistema linearmente indipendente? Cioè in questo caso lo formerebbero solo le funzioni $ f(x), g(x), h(x) $?
2) gli integrali che hai calcolato non andrebbero calcolati nel periodo delle funzioni? Per $ sin(x), cos(x), 2pi $ e per $ sin(13x), cos(13x), 2pi/13 $?
@vittorino70:
wow grande non lo conoscevo proprio come sistema! Però effettivamente è un pò lungo come calcolo e mi sembra di aver letto che se il risultato è nullo non è detto che siano linearmente dipendenti, giusto?
1) se per esempio ho quattro funzioni ( $ f(x), g(x), h(x), s(x) $ ), ma solo due o tre sono tra loro linearmente indipendenti ( quindi $ intf(x)*g(x)=0, intf(x)*h(x)=0, intg(x)*h(x)=0 $, ma $ intf(x)*s(x)=infty, intg(x)*s(x)=infty, inth(x)*s(x)=infty $ ) allora non formano un sistema linearmente indipendente? Cioè in questo caso lo formerebbero solo le funzioni $ f(x), g(x), h(x) $?
2) gli integrali che hai calcolato non andrebbero calcolati nel periodo delle funzioni? Per $ sin(x), cos(x), 2pi $ e per $ sin(13x), cos(13x), 2pi/13 $?
@vittorino70:
wow grande non lo conoscevo proprio come sistema! Però effettivamente è un pò lungo come calcolo e mi sembra di aver letto che se il risultato è nullo non è detto che siano linearmente dipendenti, giusto?
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