Dubbio su serie di potenze.
Salve!
Non mi è ben chiaro il comportamento di una serie di potenze nei punti estremali $rho$ e $-rho$. A priori non si puo' dire nulla della convergenza della serie in questi punti.
Dunque: mi metto nel punto $rho$. Se in questo punto la serie converge assolutamente, si ha la convergenza totale (quindi uniforme) in tutto l'intervallo chiuso e limitato $[-rho, rho]$; e questo si dovrebbe dedurre dal fatto che: $|a_n x^n| <= |a_n (rho)^n|$. Giusto?
Altresì, se la serie converge solo semplicemente in $rho$ non è detto che si abbia la convergenza totale in $[-rho, rho]$. E convergendo semplicemente in $rho$ si ha la convergenza uniforme in $[-k, rho]$ con $0<=k
Supponiamo ora che nel primo estremo non si abbia nè convergenza assoluta nè semplice. Mi sposto in $-rho$. Se qui convergesse semplicessemente avremmo convergenza uniforme in $[-rho, k]$ con $0<=k
Se non stato abbastanza chiaro, in caso vi potrei postare degli esempi.
Grazie mille,
saluti.
Non mi è ben chiaro il comportamento di una serie di potenze nei punti estremali $rho$ e $-rho$. A priori non si puo' dire nulla della convergenza della serie in questi punti.
Dunque: mi metto nel punto $rho$. Se in questo punto la serie converge assolutamente, si ha la convergenza totale (quindi uniforme) in tutto l'intervallo chiuso e limitato $[-rho, rho]$; e questo si dovrebbe dedurre dal fatto che: $|a_n x^n| <= |a_n (rho)^n|$. Giusto?
Altresì, se la serie converge solo semplicemente in $rho$ non è detto che si abbia la convergenza totale in $[-rho, rho]$. E convergendo semplicemente in $rho$ si ha la convergenza uniforme in $[-k, rho]$ con $0<=k
Supponiamo ora che nel primo estremo non si abbia nè convergenza assoluta nè semplice. Mi sposto in $-rho$. Se qui convergesse semplicessemente avremmo convergenza uniforme in $[-rho, k]$ con $0<=k
Se non stato abbastanza chiaro, in caso vi potrei postare degli esempi.
Grazie mille,
saluti.
Risposte
Un altro dubbio:
-se nella serie di potenze, $a_n x^n$, il termine generale $a_n$ non è infinitesimo, la serie puo' convergere?
-se nella serie di potenze, $a_n x^n$, il termine generale $a_n$ non è infinitesimo, la serie puo' convergere?
La so, la so! 
La risposta all'ultima domanda è si. Per esempio $sum_{n=1}^inftyx^n$ converge.
Anche per il primo post la risposta è si. Nel senso che mi pare tutto corretto quello che tu dici.
La risposta all'ultima domanda è si. Per esempio $sum_{n=1}^inftyx^n$ converge.
Anche per il primo post la risposta è si. Nel senso che mi pare tutto corretto quello che tu dici.
"dissonance":
La so, la so!
La risposta all'ultima domanda è si. Per esempio $sum_{n=1}^inftyx^n$
Converge per x compreso tra -1 ed 1 pur avendo $a_n=1$.
Quindi confermi tutto quello che ho detto? La accendiamo?
Sì, vai!
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