Dubbio su serie

[dark.hero]

ciao a tutti. ho un dubbio su un passaggio trovato su un es del mio libro:

$ -1/pi sum_(k=1) [(((-1)^k - 1)/k)sin(kx)] = 2/pi sum_(n=0)[(sin(2n+1)x)/(2n+1)] $
"osservando che sono non nulli soltanto i coefficienti di indice dispari k=2n+1"

ho provato a utilizzare la serie di taylor del sin ma senza risultato. come posso procedere?


grazie

[ciampax]

Chiamo per semplicità [tex]$a_k=\frac{(-1)^k-1}{k}$[/tex]. Allora è immediato verificare che

[tex]$a_{2n}=\frac{(-1)^{2n}-1}{2n}=\frac{1-1}{2n}=0,\qquad a_{2n+1}=\frac{(-1)^{2n+1}-1}{2n+1}=\frac{-1-1}{2n+1}=-\frac{2}{2n+1}$[/tex]

e pertanto

[tex]$-\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^\infty a_k \sin(kx)=-\frac{1}{\pi}\sum_{n=0}^\infty\left[a_{2n}\sin(2nx)+a_{2n+1}\sin[(2n+1)x]\right]=-\frac{1}{\pi}\sum_{n=0}^\infty a_{2n+1}\sin[(2n+1)x]$[/tex]

A volte basta fare un conticino!

[dark.hero]

grazie!

[ciampax]

Prego. Un consiglio basato sull'esperienza personale: suppongo che tu sti affrontando le serie di Fourier. Se è così, molto spesso è utile cercare sia di scriversi in maniera esplicita i vari coefficienti sia tentare di effettuare "manipolazioni" di varia natura che ti permettono di semplificare l'espressione della serie. In buona parte dei casi, coefficienti dipendenti dai termini pari e dispari possono comportarsi in maniera diversa e fornirti un risultato come quello precedente, ma a volte tali "proprietà" si ripetono per i coefficienti a tre a tre, o a gruppi superiori. O, addirittura, può accadere che un certo numero di coefficienti ben determinati siano non nulli e tanti altri siano pari a zero. Per cui ti consiglio sempre di analizzare le particolarità dei coefficienti in cui ti imbatti.