Dubbio su serie
In generale, come faccio a capire se una serie è a termini positivi o negativi?
In particolare per questa serie
$ sum_{n=1}^oon^a(ln(1+1/n)-sin(1/n)) $
come faccio a dire se è a termini positivi o negativi?
In particolare per questa serie
$ sum_{n=1}^oon^a(ln(1+1/n)-sin(1/n)) $
come faccio a dire se è a termini positivi o negativi?
Risposte
Parlo solo del caso generale e non entro in merito all'esercizio.
Le serie a termini negativi e le serie a termini positivi sono un particolare tipo di serie numeriche: le serie a segno costante.
Una serie $\sum_{n=1}^{+\infty}a_n $ si dice di segno costante se per ogni $n\in \mathbb{N}$ i termini della successione $\{a_n\}_n$ hanno tutti lo stesso segno, ovvero sono tutti positivi o tutti negativi, quindi in particolare:
- avremo una serie a termini positivi se per ogni $n\in \mathbb{N}$ i termini della successione $\{a_n\}_n$ sono tutti positivi, ovvero per ogni $n\in \mathbb{N}: \ a_n \geq 0$;
- avremo una serie a termini negativi se per ogni $ n\in \mathbb{N}$ i termini della successione $\{a_n\}_n$ sono tutti negativi, ovvero per ogni $n\in \mathbb{N}: \ a_n \geq 0$.
In questo senso, spesso si parla di serie definitivamente positive o definitivamente negative, ma non ti preoccupare...
in generale quando senti la parola "definitivamente" traducila con l'espressione: "da un certo punto in poi".
Quindi una serie si dirà definitivamente positiva se da un certo indice in poi (diciamolo k) la successione associata alla serie, ossia $\{a_n\}_n$, è a termini positivi, ovvero per ogni $n\geq k$: si ha che $a_n \geq 0$ .
Esempio: consideriamo la successione definita come segue
$a_1=-5, \ a_2= -4, \ a_3= -3, \ a_4= -2, \ a_5=-1, \ a_6=0, \ a_7=1, \ a_8=2, \ \dots \ a_{n+1}=a_{n}+1 \mbox{ per }n\geq 8$
Tale successione è definitivamente positiva, ovvero da un certo indice in poi (in questo caso da $a_6$ in poi) è a termini positivi. Lo stesso identico discorso vale per le serie che si dicono a termini definitivamente negativi.
Per vedere se una serie $\sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ è di segno costante. I modi principalmente utilizzati sono tre.
1) Studio del segno tramite le disequazioni
Si pone $a_n \geq 0$ e si risolve la disequazione trovando gli intervalli in cui $\{a_n\}_n$ è positiva e quelli in cui $\{a_n\}_n$ è negativa. A questo punto in base ai risultati ottenuti si deduce se la serie è o meno a termini positivi e/o negativi.
2) Studio del segno tramite le proprietà delle funzioni elementari
3) Studio del segno per induzione
Quest'ultimo punto utilizzalo solo se i punti 1) e 2) dovessero fallire, il che accade davvero molto di rado.
Dopo aver visto cos'è una serie di segno costante vediamo un''utilissimo risultato sul loro carattere: una serie di segno costante non può essere irregolare, cioè una serie di segno costante converge o diverge.
In particolare:
- una serie a termini positivi (o definitivamente positivi) o converge o diverge positivamente;
- una serie a termini negativi (o definitivamente negativi) converge o diverge negativamente.
Ciao ed in bocca al lupo.
Le serie a termini negativi e le serie a termini positivi sono un particolare tipo di serie numeriche: le serie a segno costante.
Una serie $\sum_{n=1}^{+\infty}a_n $ si dice di segno costante se per ogni $n\in \mathbb{N}$ i termini della successione $\{a_n\}_n$ hanno tutti lo stesso segno, ovvero sono tutti positivi o tutti negativi, quindi in particolare:
- avremo una serie a termini positivi se per ogni $n\in \mathbb{N}$ i termini della successione $\{a_n\}_n$ sono tutti positivi, ovvero per ogni $n\in \mathbb{N}: \ a_n \geq 0$;
- avremo una serie a termini negativi se per ogni $ n\in \mathbb{N}$ i termini della successione $\{a_n\}_n$ sono tutti negativi, ovvero per ogni $n\in \mathbb{N}: \ a_n \geq 0$.
In questo senso, spesso si parla di serie definitivamente positive o definitivamente negative, ma non ti preoccupare...
in generale quando senti la parola "definitivamente" traducila con l'espressione: "da un certo punto in poi".
Quindi una serie si dirà definitivamente positiva se da un certo indice in poi (diciamolo k) la successione associata alla serie, ossia $\{a_n\}_n$, è a termini positivi, ovvero per ogni $n\geq k$: si ha che $a_n \geq 0$ .
Esempio: consideriamo la successione definita come segue
$a_1=-5, \ a_2= -4, \ a_3= -3, \ a_4= -2, \ a_5=-1, \ a_6=0, \ a_7=1, \ a_8=2, \ \dots \ a_{n+1}=a_{n}+1 \mbox{ per }n\geq 8$
Tale successione è definitivamente positiva, ovvero da un certo indice in poi (in questo caso da $a_6$ in poi) è a termini positivi. Lo stesso identico discorso vale per le serie che si dicono a termini definitivamente negativi.
Per vedere se una serie $\sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ è di segno costante. I modi principalmente utilizzati sono tre.
1) Studio del segno tramite le disequazioni
Si pone $a_n \geq 0$ e si risolve la disequazione trovando gli intervalli in cui $\{a_n\}_n$ è positiva e quelli in cui $\{a_n\}_n$ è negativa. A questo punto in base ai risultati ottenuti si deduce se la serie è o meno a termini positivi e/o negativi.
2) Studio del segno tramite le proprietà delle funzioni elementari
3) Studio del segno per induzione
Quest'ultimo punto utilizzalo solo se i punti 1) e 2) dovessero fallire, il che accade davvero molto di rado.
Dopo aver visto cos'è una serie di segno costante vediamo un''utilissimo risultato sul loro carattere: una serie di segno costante non può essere irregolare, cioè una serie di segno costante converge o diverge.
In particolare:
- una serie a termini positivi (o definitivamente positivi) o converge o diverge positivamente;
- una serie a termini negativi (o definitivamente negativi) converge o diverge negativamente.
Ciao ed in bocca al lupo.
parti dall'osservazione che
\begin{align}
\left|\sin\frac{1}{n}\right|<1
\end{align}
\begin{align}
\left|\sin\frac{1}{n}\right|<1
\end{align}
"Noisemaker":
parti dall'osservazione che
\begin{align}
\left|\sin\frac{1}{n}\right|<1
\end{align}
Non ti seguo perdonami..
lascia stare, quella strada non funziona; considera la funzione $f(x)$ e il suo sviluppo di Taylor:
\begin{align}
f(x):&=\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\sin\frac{1}{x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{3x^3}+....-\frac{1}{x}+\frac{1}{6x^3}+....\\
&= -\frac{1}{2x^2}+\frac{2}{3x^3}+...;
\end{align}
ora quando $x\to+\infty$, che è cià che ti interessa, hai che
\begin{align}
f(x) \sim -\frac{1}{2x^2},
\end{align}
e dunque ....
\begin{align}
f(x):&=\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\sin\frac{1}{x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{3x^3}+....-\frac{1}{x}+\frac{1}{6x^3}+....\\
&= -\frac{1}{2x^2}+\frac{2}{3x^3}+...;
\end{align}
ora quando $x\to+\infty$, che è cià che ti interessa, hai che
\begin{align}
f(x) \sim -\frac{1}{2x^2},
\end{align}
e dunque ....
Sarò fuso, ma continuo a non capirci nulla...
Proviamo a segurie i consigli di Luca97.
Metodo 1:
Risolvere la disequazione [tex]\ln{ \left ( 1+\frac{1}{n} \right )} - \sin{ \frac{1}{n}} > 0[/tex].
E' palesemente irrisolvibile con mezzi elementari. Andiamoci pesante sviluppando i termini in serie di Taylor con resto di Lagrange:
[tex]\ln{ \left ( 1+\frac{1}{n} \right )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{1+t^2} \frac{1}{2n^2}[/tex]
[tex]\sin{ \frac{1}{n}} = \frac{1}{n} - \sin{t} \frac{1}{2n^2}[/tex]
In entrambi i casi [tex]t \in \left ] 0, \ \frac{1}{n} \right [[/tex].
[tex]\ln{ \left ( 1+\frac{1}{n} \right )} - \sin{ \frac{1}{n}} = \frac{1}{2n^2} \left [ \sin{t} - \frac{1}{1+t^2} \right ][/tex]
Per [tex]n \to + \infty[/tex], [tex]t \to 0[/tex], quindi:
[tex]\sin{t} \to 0[/tex]
[tex]\frac{1}{1 + t^2} \to 1[/tex]
Quindi direi che la serie è definitivamente a termini negativi, il che, come ha specificato Luca, non significa che sia a termini negativi, però praticamente gode delle stesse proprietà delle serie a termini negativi.
In realtà non è necessario calcolare espressamente il resto di Lagrange, basta guardare il primo termine non nullo che ottieni sottraendo le due serie di Mc Laurin, ma a me personalmente pare più preciso usare il resto di Lagrange, anche se è un po' tedioso da calcolare.
P. s.: Non avevo visto l'intervento di Noisemaker. Se non ti è chiaro il suo, figuriamoci il mio... ma se sai cosa è uno sviluppo in serie di Taylor non è complicato.
Metodo 1:
Risolvere la disequazione [tex]\ln{ \left ( 1+\frac{1}{n} \right )} - \sin{ \frac{1}{n}} > 0[/tex].
E' palesemente irrisolvibile con mezzi elementari. Andiamoci pesante sviluppando i termini in serie di Taylor con resto di Lagrange:
[tex]\ln{ \left ( 1+\frac{1}{n} \right )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{1+t^2} \frac{1}{2n^2}[/tex]
[tex]\sin{ \frac{1}{n}} = \frac{1}{n} - \sin{t} \frac{1}{2n^2}[/tex]
In entrambi i casi [tex]t \in \left ] 0, \ \frac{1}{n} \right [[/tex].
[tex]\ln{ \left ( 1+\frac{1}{n} \right )} - \sin{ \frac{1}{n}} = \frac{1}{2n^2} \left [ \sin{t} - \frac{1}{1+t^2} \right ][/tex]
Per [tex]n \to + \infty[/tex], [tex]t \to 0[/tex], quindi:
[tex]\sin{t} \to 0[/tex]
[tex]\frac{1}{1 + t^2} \to 1[/tex]
Quindi direi che la serie è definitivamente a termini negativi, il che, come ha specificato Luca, non significa che sia a termini negativi, però praticamente gode delle stesse proprietà delle serie a termini negativi.
In realtà non è necessario calcolare espressamente il resto di Lagrange, basta guardare il primo termine non nullo che ottieni sottraendo le due serie di Mc Laurin, ma a me personalmente pare più preciso usare il resto di Lagrange, anche se è un po' tedioso da calcolare.
P. s.: Non avevo visto l'intervento di Noisemaker. Se non ti è chiaro il suo, figuriamoci il mio... ma se sai cosa è uno sviluppo in serie di Taylor non è complicato.
Ancora una volta ci ho capito poco.
Mi stai dicendo che devo farmi lo sviluppo di Taylor per studiarmi meglio la successione, quindi
$ log(1+1/n)=1/n-1/(2n^2)+1/(3n^3)+o(1/n^3) $
$ sin(1/n)=1/n-1/(6n^3)+o(1/n^4) $
e mettendo tutto insieme verrebbe
$ (ln(1+1/n)-sin(1/n))=-1/(2n^2)+1/(2n^3)+o(1/n^4) $
Quindi adesso mi dovrei studiare la serie
$ sum_{n=1}^oo n^a(-1/(2n^2)+1/(2n^3)+o(1/n^4)) $ ??
Mi stai dicendo che devo farmi lo sviluppo di Taylor per studiarmi meglio la successione, quindi
$ log(1+1/n)=1/n-1/(2n^2)+1/(3n^3)+o(1/n^3) $
$ sin(1/n)=1/n-1/(6n^3)+o(1/n^4) $
e mettendo tutto insieme verrebbe
$ (ln(1+1/n)-sin(1/n))=-1/(2n^2)+1/(2n^3)+o(1/n^4) $
Quindi adesso mi dovrei studiare la serie
$ sum_{n=1}^oo n^a(-1/(2n^2)+1/(2n^3)+o(1/n^4)) $ ??
Non devi studiare nulla ! 
La tua domanda era se la serie fosse a termini positivi o negativi e loro ti hanno risposto "termini negativi". E' già scritto li.
La tua domanda era se la serie fosse a termini positivi o negativi e loro ti hanno risposto "termini negativi". E' già scritto li.
"bugger":
$ sum_{n=1}^oo n^a(-1/(2n^2)+1/(2n^3)+o(1/n^4)) $
Ci sei. In pratica il termine $-1/(2n^2)$ è più grande di tutto quello che viene dopo, almeno da un certo punto in poi. Questo è quello che ha detto Noisemaker.
Io invece, siccome si ha comunque una sommatoria di infiniti termini, e in principio non mi pare una cosa ovvia, anzichè darlo per buono, ho usato l'espressione col resto di Lagrange. Comunque credo che in generale ti basti quello che hai appena fatto e che ha suggerito Noisemaker.
"Quinzio":
Non devi studiare nulla !
La tua domanda era se la serie fosse a termini positivi o negativi e loro ti hanno risposto "termini negativi". E' già scritto li.
Quoto.
Scusate se resuscito questo post ma mi è capitato lo stesso esercizio e dunque mi ricollego.
Non capisco come si possa utilizzare Taylor ( mi sembra per altro che siano formule di McLaurin cioè per x=0 ) per approssimare una serie i cui valori variano fino ad infinito.
Perché allora se questo si può fare è applicabile a tutti gli esercizi? se si ho capito l'esercizio
Non capisco come si possa utilizzare Taylor ( mi sembra per altro che siano formule di McLaurin cioè per x=0 ) per approssimare una serie i cui valori variano fino ad infinito.
Perché allora se questo si può fare è applicabile a tutti gli esercizi? se si ho capito l'esercizio
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