Dubbio su razionalizzazione un po' disinvolta
Ovviamente non può che essere giusta, ma non riesco a capire come è stata fatta. Per farla breve, sto cercando di capire come si arriva alla formula per trovare le radici quadrate di un numero complesso, di seguito riporto la dimostrazione completa:
Parte calcolando, a titolo illustrativo, per via puramente algebrica le radici quadrate di un numero complesso $z=a+ib$ con $(a,b epsilon mathbb(R))$
Essendo $(x+iy)^2 = (x+iy)(x+iy) = (x^2+y^2)+i(2xy)$, $x +iy$ è radice quadrata di $a+ib$ se e solo se $x,y$ risolvono il sistema:
$ { ( x^2-y^2=a ),( 2xy=b ):} $
Se fosse $b=0$, sarebbe allora $a!=0$, perche per ipotesi $a+ib!=0$, ed in tal caso la seconda equazione implica $x=0$ oppure $y=0$;
Se $a>0$ le soluzioni del sistema sono $x=+-sqrt(a)$, $y=0$;
Mentre se $a<0$ esse sono $x=0$, $y=+-sqrt(-a)=+-sqrt(|a|)$.
Se invece $b!=0$, cioè se il numero complesso $z=a+ib$ non è reale, allora né $x$ né $y$ possono essere nulli; dalla seconda equazione di ottiene $y=b/(2x)$, e sostituendo nella prima essa diventa
$ x^2-b^2/(4x^2)=a <=> 4x^4 - b^2 = 4ax^2 <=> 4(x^2)^2-2(2a)(x^2)-b^2=0$
da cui
$x^2=(2a+-sqrt(4a^2+4b^2))/4=(a+-|z|)/2$
essendo $a-|z|<0$, (perchè $b!=0$), e dovendo $x$ essere reale, l'unica soluzione utile è quella con il segno $+$; si ha allora
$x=+-1/sqrt(2)sqrt(a+|z|)$
**// INIZIO PASSAGGIO NON CHIARO //**
da cui $y=+-b/(sqrt(2)sqrt(a+|z|))=$ (razionalizando) $=+-sgn b sqrt((|z|-a)/2)$ ($sgnb$ si riferisce al segno che deve avere b?)
**// FINE PASSAGGIO NON CHIARO //**
in definitiva le radici quadrate di $z=a+ib$, nel caso $b!=0$, sono i due numeri complessi, opposti l'uno all'altro,
$+-(sqrt((|z|+Rez)/2)+isgnImz sqrt((|z|-Rez)/2))$
La dimostrazione mi è più o meno tutta chiara l'unico passaggio che non ho afferrato è quello della razionalizzazione, come ha fatto a ottenere quel risultato? io cercando di rifarlo ho ottenuto:
$y=+-b/(sqrt(2)sqrt(a+|z|))$ = (razionalizzando) = $ +-(b/(a+|z|)) sqrt((a+|z|)/2) $
Qualche suggerimento?
Parte calcolando, a titolo illustrativo, per via puramente algebrica le radici quadrate di un numero complesso $z=a+ib$ con $(a,b epsilon mathbb(R))$
Essendo $(x+iy)^2 = (x+iy)(x+iy) = (x^2+y^2)+i(2xy)$, $x +iy$ è radice quadrata di $a+ib$ se e solo se $x,y$ risolvono il sistema:
$ { ( x^2-y^2=a ),( 2xy=b ):} $
Se fosse $b=0$, sarebbe allora $a!=0$, perche per ipotesi $a+ib!=0$, ed in tal caso la seconda equazione implica $x=0$ oppure $y=0$;
Se $a>0$ le soluzioni del sistema sono $x=+-sqrt(a)$, $y=0$;
Mentre se $a<0$ esse sono $x=0$, $y=+-sqrt(-a)=+-sqrt(|a|)$.
Se invece $b!=0$, cioè se il numero complesso $z=a+ib$ non è reale, allora né $x$ né $y$ possono essere nulli; dalla seconda equazione di ottiene $y=b/(2x)$, e sostituendo nella prima essa diventa
$ x^2-b^2/(4x^2)=a <=> 4x^4 - b^2 = 4ax^2 <=> 4(x^2)^2-2(2a)(x^2)-b^2=0$
da cui
$x^2=(2a+-sqrt(4a^2+4b^2))/4=(a+-|z|)/2$
essendo $a-|z|<0$, (perchè $b!=0$), e dovendo $x$ essere reale, l'unica soluzione utile è quella con il segno $+$; si ha allora
$x=+-1/sqrt(2)sqrt(a+|z|)$
**// INIZIO PASSAGGIO NON CHIARO //**
da cui $y=+-b/(sqrt(2)sqrt(a+|z|))=$ (razionalizando) $=+-sgn b sqrt((|z|-a)/2)$ ($sgnb$ si riferisce al segno che deve avere b?)
**// FINE PASSAGGIO NON CHIARO //**
in definitiva le radici quadrate di $z=a+ib$, nel caso $b!=0$, sono i due numeri complessi, opposti l'uno all'altro,
$+-(sqrt((|z|+Rez)/2)+isgnImz sqrt((|z|-Rez)/2))$
La dimostrazione mi è più o meno tutta chiara l'unico passaggio che non ho afferrato è quello della razionalizzazione, come ha fatto a ottenere quel risultato? io cercando di rifarlo ho ottenuto:
$y=+-b/(sqrt(2)sqrt(a+|z|))$ = (razionalizzando) = $ +-(b/(a+|z|)) sqrt((a+|z|)/2) $
Qualche suggerimento?
Risposte
A quale formula per le radici quadrate ti riferisci?
Chi sono \(a\), \(b\) ed \(y\)?
Chi sono \(a\), \(b\) ed \(y\)?
Scusa il ritardo della risposta, in seguito alla tua richiesta di chiarimenti ho postato la dimostrazione completa sottolineando quello che non mi tornava
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