Dubbio su radice
Ciao,
Se ho questo:
$(sqrt(x^2-1))^2$
Devo mettere o no il valore assoluto?
Grazie.
Se ho questo:
$(sqrt(x^2-1))^2$
Devo mettere o no il valore assoluto?
Grazie.
Risposte
Cosa devi fare?
Questa derivata:
$(2x)/(2sqrt(x^2-1))$
Non se vederla come prodotto, come quoziente, o ancora razionalizzare..
Grazie
$(2x)/(2sqrt(x^2-1))$
Non se vederla come prodotto, come quoziente, o ancora razionalizzare..
Grazie
Qual è la consegna esatta? Scrivi per bene sia la funzione che la sua derivata ...
È un studio di funzione.
La funzione è:
$f(x)=sqrt(x^2-1)$
La sua derivata calcolata da me è :
$f'(x)=(2x)/(2sqrt(x^2-1))$.
La derivata seconda è quella che mi sta dando problemi, non riesco a calcolarla
La funzione è:
$f(x)=sqrt(x^2-1)$
La sua derivata calcolata da me è :
$f'(x)=(2x)/(2sqrt(x^2-1))$.
La derivata seconda è quella che mi sta dando problemi, non riesco a calcolarla
Confusionario come al solito ... Mostraci la tua derivata seconda ...
Io ho fatto la derivata come derivata di un quoziente. $f''(x)=(4sqrt(x^2-1)-(2x)/(sqrt(x^2-1)))/(4|x^2-1|)$
Infatti è un quoziente e quindi devi fare la derivata di un quoziente solo che è sbagliata (cosa c'entri poi il valore assoluto lo sai solo tu ...)
Se hai $f(x)=(g(x))/(h(x))$ tu sai che $f'(x)=(g'(x)h(x)-g(x)h'(x))/(h(x))^2$ quindi una strada è quella di definire $g(x)$ e $h(x)$, poi calcolare $g'(x)$ e $h'(x)$ e poi "rimettere" insieme il tutto ...
Se hai $f(x)=(g(x))/(h(x))$ tu sai che $f'(x)=(g'(x)h(x)-g(x)h'(x))/(h(x))^2$ quindi una strada è quella di definire $g(x)$ e $h(x)$, poi calcolare $g'(x)$ e $h'(x)$ e poi "rimettere" insieme il tutto ...
Al denominatore devo fare il quadrato, cioè:
$(2sqrt(x^2-1))^2$
Perché non devo mettere il valore assoluto? Non è come fare $sqrt(x^2)$? Perché devo semplificare $sqrt((x^2-1)^2)$.
$(2sqrt(x^2-1))^2$
Perché non devo mettere il valore assoluto? Non è come fare $sqrt(x^2)$? Perché devo semplificare $sqrt((x^2-1)^2)$.
Non è solo quello ... inoltre non capisco perché devi mettere il valore assoluto, non stai "tirando fuori" qualcosa da un radice quadrata (in tal caso devi fare attenzione) ma stai elevando al quadrato come richiesto dalla "formula" quindi ...
Ricordati che $(sqrtx)^2$ e $sqrt(x^2)$ sono due funzioni diverse
Date $f(x)=x^2$ e $g(x)=sqrt(x)$
$(fcircg)(x)=(sqrtx)^2$ e $(gcircf)(x)=sqrt(x^2)$
Cosa cambia? $f:RR->RR^(+)$ e $g:RR^(+)->RR^+$
Quindi per comporle vanno fatte alcune considerazioni.
Date $f(x)=x^2$ e $g(x)=sqrt(x)$
$(fcircg)(x)=(sqrtx)^2$ e $(gcircf)(x)=sqrt(x^2)$
Cosa cambia? $f:RR->RR^(+)$ e $g:RR^(+)->RR^+$
Quindi per comporle vanno fatte alcune considerazioni.
Ciò significa che quando il quadrato è fuori dalla radice non ci vuole il valore assoluto, mentre se è dentro si. Ho capito bene?
Non c'entra ... il problema è che non hai capito il perché in certi casi si sostituisce una certa espressione con un'altra equivalente ... in questo caso la "formula" per il calcolo della derivata del quoziente di due funzioni prevede che il denominatore debba essere elevato alla seconda, indipendentemente dal fatto che tale denominatore sia positivo o negativo (il risultato sarebbe comunque lo stesso ...)
Evita di adottare ragionamenti "semplicistici" come quello che hai appena scritto e concentrati sul capire il "perché" delle cose
Evita di adottare ragionamenti "semplicistici" come quello che hai appena scritto e concentrati sul capire il "perché" delle cose
Quindi non devo mettere il valore assoluto perché il radicando deve essere positivo perché esista la derivata prima?
Per capirci, ti faccio una domanda.
È vero che $log(x^2)=2log(x),forall x inRR$?
$•$ si: perché?
$•$ no: perché?
È vero che $log(x^2)=2log(x),forall x inRR$?
$•$ si: perché?
$•$ no: perché?
Si, potrei dimostrarlo così:
$2lnx=lnx+lnx=ln(x*x)=ln(x^2)$
C'entra con la radice?
$2lnx=lnx+lnx=ln(x*x)=ln(x^2)$
C'entra con la radice?
Questo dimostra che devi studiarti da capo analisi 
La domanda era più sottile e non mirava a una verifica algebrica.
La domanda era più sottile e non mirava a una verifica algebrica.
Perché non ho detto che il logaritmo è definito solo per $x>0$?
Non arrivo al punto.
Non arrivo al punto.
La funzione $f(x)=log(x^2)$ è una funzione ben definita su tutto $RRsetminus{0}$ mentre $g(x)=2log(x)$ è definita soltanto su $RR^+$
Di fatto quella uguaglianza è valida per tutti i reali positivi.
È simile alla questione da te posta. Le quantità
$sqrt(f(x))^2$ e $sqrt(f(x)^2)$ coincidono soltanto dove $f(x)geq0$ e non in generale.
La mia critica è volta al ‘ci devo mettere il valore assoluto?’, perché non è una cosa così scontata.
Le funzioni $sqrt(f(x)^2)$ e $|f(x)|$ coincidono ovunque $f$ sia definita, ma sono concetti molto importanti dell’analisi che sono fondamentali per la manipolazione algebrica delle funzioni.
Ti invito caldamente ad andare a studiare come si manipolano le funzioni.
Andando al tuo esempio: la funzione $(sqrt(x^2-1))^2$ è composizione delle funzioni
$f_1(x)=x^2-1$
$f_2(x)=sqrt(x)$
$f_3(x)=x^2$
In questo ordine $f_3circf_2circf_1$
Per comporre $f_2$ con $f_1$ si deve avere $im(f_1)subseteqdom(f_2)$ e per comporre $f_2circf_1$ con $f_3$ si deve avere $im(f_2circf_1)subseteqdom(f_3)$
dalla prima condizione deve essere $x^2-1geq0$ e si avrà $(f_2circf_1)(x)=sqrt(x^2-1)$
Infine si nota subito che già si ottiene che $im(f_2circf_1)subseteqdom(f_3)$
questo ti dice che $h:=(f_3circf_2circf_1):RRsetminus(-1,1)->RR^+$
$x^2-1=(sqrt(x^2-1))^2,forall x inRRsetminus(-1,1)$
Di fatto quella uguaglianza è valida per tutti i reali positivi.
È simile alla questione da te posta. Le quantità
$sqrt(f(x))^2$ e $sqrt(f(x)^2)$ coincidono soltanto dove $f(x)geq0$ e non in generale.
La mia critica è volta al ‘ci devo mettere il valore assoluto?’, perché non è una cosa così scontata.
Le funzioni $sqrt(f(x)^2)$ e $|f(x)|$ coincidono ovunque $f$ sia definita, ma sono concetti molto importanti dell’analisi che sono fondamentali per la manipolazione algebrica delle funzioni.
Ti invito caldamente ad andare a studiare come si manipolano le funzioni.
Andando al tuo esempio: la funzione $(sqrt(x^2-1))^2$ è composizione delle funzioni
$f_1(x)=x^2-1$
$f_2(x)=sqrt(x)$
$f_3(x)=x^2$
In questo ordine $f_3circf_2circf_1$
Per comporre $f_2$ con $f_1$ si deve avere $im(f_1)subseteqdom(f_2)$ e per comporre $f_2circf_1$ con $f_3$ si deve avere $im(f_2circf_1)subseteqdom(f_3)$
dalla prima condizione deve essere $x^2-1geq0$ e si avrà $(f_2circf_1)(x)=sqrt(x^2-1)$
Infine si nota subito che già si ottiene che $im(f_2circf_1)subseteqdom(f_3)$
questo ti dice che $h:=(f_3circf_2circf_1):RRsetminus(-1,1)->RR^+$
$x^2-1=(sqrt(x^2-1))^2,forall x inRRsetminus(-1,1)$
Credo di aver capito a cosa ti stai riferendo.
"Due funzioni sono uguali per definizione se hanno la stessa "regola", lo stesso dominio e codominio".
Però ho capito tutta la spiegazione tranne l'ultima riga.
$x^2-1: RR to RR$
Mentre,
$(sqrt(x^2-1))^2: RR\\(-1,1) to RR^+$.
"Due funzioni sono uguali per definizione se hanno la stessa "regola", lo stesso dominio e codominio".
Però ho capito tutta la spiegazione tranne l'ultima riga.
$x^2-1: RR to RR$
Mentre,
$(sqrt(x^2-1))^2: RR\\(-1,1) to RR^+$.
Scusa ho sbagliato, erroneamente scrivevo $x^2-1$ ma nella mia testa c’era $x^2-2$
Andiamo di brute force: quando prendi $x^2-1$ gli applichi prima la radice e poi il quadrato. Quindi prima di poter applicare il quadrato, la radice deve esistere! Ovvero il radicando deve essere positivo.
Comunque quella condizione per l’uguaglianza di funzioni si può formulare più rigorosamente chiedendo che due funzioni coincidono se hanno lo stesso grafico, oppure: dominio, codominio e immagine.
Andiamo di brute force: quando prendi $x^2-1$ gli applichi prima la radice e poi il quadrato. Quindi prima di poter applicare il quadrato, la radice deve esistere! Ovvero il radicando deve essere positivo.
Comunque quella condizione per l’uguaglianza di funzioni si può formulare più rigorosamente chiedendo che due funzioni coincidono se hanno lo stesso grafico, oppure: dominio, codominio e immagine.
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