Dubbio su "Derivata Distribuzionale nulla => f costante"

[silver941]

Salve a tutti, Forum!
Vi ringrazio come sempre in anticipo per la vostra disponibilità e cortesia, in quanto dovuto. (Anche se non dovessi ricevere risposte )
Il dubbio che non riesco a risolvere riguarda, come da titolo, la dimostrazione che una funzione con derivata distribuzionale nulla è costante.
In particolare utilizzo come testo di riferimento Barozzi - Matematica per l'ingegneria dell'Informazione e i miei appunti al corso, che grossomodo seguono la stessa impostazione.
Veniamo al dunque:
La dimostrazione procede:
Th: $ =int_(-oo )^(+oo) f'(t) phi(t)dt =int_(-oo )^(+oo) f(t) phi'(t)dt =0 AA phi in D $
Si ponga $phi'(t)= psi(t)$ , notando che $psi(t)$ è una test a media nulla, ovvero $int_(-oo)^(+oo) psi(t)dt =0$
A questo punto sia $phi_0(t) in D | int_(-oo)^(+oo) phi(t)dt =1$
e dunque $C = int_(-oo)^(+oo) f(t)phi_0(t)dt $
*^Primo dubbio. Proseguo, e li esprimo alla fine*
Al che $ lambda= int_(-oo)^(+oo) phi(t) dt$ $AA phi(t) in D $
$=> psi(t) = phi(t)- lambdaphi_0(t) $
*^E siamo a due*

Da sopra discendono le uguaglianze:
$int_(-oo)^(+oo) f(t) psi(t)dt =int_(-oo)^(+oo) f(t) phi(t) - lambda int_(-oo)^(+oo) f(t) phi_0(t) dt =$

$=int_(-oo)^(+oo) f(t) phi(t) dt- C int_(-oo)^(+oo) phi(t) dt = 0$

$=> int_(-oo)^(+oo)f(t) phi(t) dt = C int_(-oo)^(+oo) phi(t) dt AA phi(t) in D$

$f(t)= C$
Quello che in particolare non mi è chiaro è perché è possibile stabilire C, ovvero perché $int_(-oo)^(+oo) f(t)phi_0(t)dt $ è costante.
In più, cosa mi permette di dire che $psi(t) = phi(t)- lambdaphi_0(t) $ ?
Da cosa discende questa identità?
Grazie mille per il supporto

[silver941]

Nessuno riesce a darmi una mano??

[Rigel1]

Fissa \(\phi_0\in D\) con \(\int \phi_0 = 1\) (gli integrali sono intesi su tutto \(\mathbb{R}\)).
Sia \(\phi\in D\) e poni \(\lambda := \int\phi\).
La funzione \(\psi := \phi - \lambda\, \phi_0\) ha supporto compatto e, per costruzione, ha integrale nullo.
Posto \(C := \int f\phi_0\) hai che
\[
0=\int f\psi = \int f(\phi - \lambda \phi_0) = \int f\phi - \lambda \int f\phi_0
= \int f\phi - C \, \lambda = \int f\phi - C \int \phi = \int (f-C) \phi.
\]
In conclusione
\[
\int (f-C) \phi = 0\qquad \forall \phi\in D
\]
e da qui discende che \(f = C\) a.e.

[silver941]

Grazie mille! Ora mi è chiaro

[Britta1]

In particolare utilizzo come testo di riferimento Barozzi - Matematica per l'ingegneria dell'Informazione e i miei appunti al corso, che grossomodo seguono la stessa impostazione.