Dubbio su procedimento
Buon pomeriggio a voi!
Ieri avevo l'esame di analisi ma mi sono trovato in "crisi" quando dovevo svolgere questo studio di funzione:
$ int_(1)^(x) e^-t log(t) dt $
Come procedimento, ho per prima cosa cercato il valore di annullamento della funzione, ricavando $ t!= 1 $ poichè annullerebbe il logaritmo.
Successivamente derivando l'integrale ottengo semplicemente $ e^(-x) log x $ e da qui ho verificato quando la funzione è >0
Visto che è un prodotto di due funzioni, si verifica che con corrispondenza dei segni..
Ma da qui in poi mi sono bloccato e non sono venuto a capo della richiesta di disegno grafico, asintoti, massimi/min..
Morale, mi sono ritirato dall'esame e spero di preparalo bene per luglio.
L'esame è composto da 2 esercizi definizione/dimostrazione/esercizio + 1 studio di funzione integrale + problema di cauchy
Ieri avevo l'esame di analisi ma mi sono trovato in "crisi" quando dovevo svolgere questo studio di funzione:
$ int_(1)^(x) e^-t log(t) dt $
Come procedimento, ho per prima cosa cercato il valore di annullamento della funzione, ricavando $ t!= 1 $ poichè annullerebbe il logaritmo.
Successivamente derivando l'integrale ottengo semplicemente $ e^(-x) log x $ e da qui ho verificato quando la funzione è >0
Visto che è un prodotto di due funzioni, si verifica che con corrispondenza dei segni..
Ma da qui in poi mi sono bloccato e non sono venuto a capo della richiesta di disegno grafico, asintoti, massimi/min..
Morale, mi sono ritirato dall'esame e spero di preparalo bene per luglio.
L'esame è composto da 2 esercizi definizione/dimostrazione/esercizio + 1 studio di funzione integrale + problema di cauchy
Risposte
Visto che le funzioni ad estremo sono $1$ e $x$ non è molto complesso...
Allora il dominio della funzione salvo altre precisazioni dell'esercizio, corrisponde col dominio dell'integranda salvo al più gli estremi quindi il dominio è quello del logaritmo ovvero $(0,+\infty)$ , questo perché l'integrale di una funzione integrale è a sua volta una funzione continua, in tutti i punti in cui è integrabile, quindi è a maggior ragione definita in tali punti. E se te lo stai chiedendo, si la $x$ può diventare più piccola dell'estremo inferiore e non muore nessuno semplicemente l'integrale cambia di segno.
Quello che è da confermare è se lo zero faccia parte o no del dominio, valutando se l'integrale improprio converge oppure no verso zero, se converge allora lo zero fa parte anch'esse del dominio altrimenti no.
Chiaramente visto che $e^{-t}\log(t)\to -\infty$ allora l'integrale non converge quindi zero non è nel dominio, inoltre abbiamo scoperto il primo comportamento asintotico, se l'argomento tende a $-\infty$ allora anche l'integrale tende a quel valore$ x\to 0+ $, tuttavia visto che la $x$ è più piccola dell'estremo inferiore, la funzione integrale cambia di segno rispetto al suo comportamento "classico" quindi la funzione integrale tende a $+\infty$ per $x\to 0+$.
L'unico altro estremo del dominio è $+\infty$, allora l'integranda a $+\infty$ cosa fa?
Beh è banale notare che tende a zero, quindi l'integrale improprio potrebbe convergere, proviamo quindi a maggiorare l'argomento con un altra funzione di cui sappiamo la convergenza , ovvero una soluzione semplice può essere $e^{-t}\log(t)
Così abbiamo concluso i comportamenti asintotici.
Ora, come ben dicevi, per $x=1$ l'integranda che in questo caso corrisponde alla derivata prima si annulla, quindi $x=1$ è un punto critico, o meglio è l'unico punto critico, non ci resta che valutare il segno, poiché l'integrale di una funzione positiva in un intervallo è positivo, allora non ci resta che studiare il segno dell'integranda, ovvero $e^{-t}\log(t)>0$ Beh chiaramente la risposta è $t>1$ quindi la funzione integrale è positiva per $x>1$ e in teoria sarebbe negativa per $0
Adesso non ti resta che unire tutte queste informazioni in un bel grafico.
Volendo puoi studiare banalmente anche le concavità , facendo la derivata dell'integrando e studiandone il segno, e dovresti ottenere che la funzione è convessa per $01$ esattamente come ci si aspettava provando a disegnarlo.
Allora il dominio della funzione salvo altre precisazioni dell'esercizio, corrisponde col dominio dell'integranda salvo al più gli estremi quindi il dominio è quello del logaritmo ovvero $(0,+\infty)$ , questo perché l'integrale di una funzione integrale è a sua volta una funzione continua, in tutti i punti in cui è integrabile, quindi è a maggior ragione definita in tali punti. E se te lo stai chiedendo, si la $x$ può diventare più piccola dell'estremo inferiore e non muore nessuno semplicemente l'integrale cambia di segno.
Quello che è da confermare è se lo zero faccia parte o no del dominio, valutando se l'integrale improprio converge oppure no verso zero, se converge allora lo zero fa parte anch'esse del dominio altrimenti no.
Chiaramente visto che $e^{-t}\log(t)\to -\infty$ allora l'integrale non converge quindi zero non è nel dominio, inoltre abbiamo scoperto il primo comportamento asintotico, se l'argomento tende a $-\infty$ allora anche l'integrale tende a quel valore$ x\to 0+ $, tuttavia visto che la $x$ è più piccola dell'estremo inferiore, la funzione integrale cambia di segno rispetto al suo comportamento "classico" quindi la funzione integrale tende a $+\infty$ per $x\to 0+$.
L'unico altro estremo del dominio è $+\infty$, allora l'integranda a $+\infty$ cosa fa?
Beh è banale notare che tende a zero, quindi l'integrale improprio potrebbe convergere, proviamo quindi a maggiorare l'argomento con un altra funzione di cui sappiamo la convergenza , ovvero una soluzione semplice può essere $e^{-t}\log(t)
Così abbiamo concluso i comportamenti asintotici.
Ora, come ben dicevi, per $x=1$ l'integranda che in questo caso corrisponde alla derivata prima si annulla, quindi $x=1$ è un punto critico, o meglio è l'unico punto critico, non ci resta che valutare il segno, poiché l'integrale di una funzione positiva in un intervallo è positivo, allora non ci resta che studiare il segno dell'integranda, ovvero $e^{-t}\log(t)>0$ Beh chiaramente la risposta è $t>1$ quindi la funzione integrale è positiva per $x>1$ e in teoria sarebbe negativa per $0
Adesso non ti resta che unire tutte queste informazioni in un bel grafico.
Volendo puoi studiare banalmente anche le concavità , facendo la derivata dell'integrando e studiandone il segno, e dovresti ottenere che la funzione è convessa per $0
"Bossmer":
Chiaramente visto che $e^{-t}\log(t)\to -\infty$ allora l'integrale non converge quindi zero non è nel dominio, inoltre abbiamo scoperto il primo comportamento asintotico, se l'argomento tende a $-\infty$ allora anche l'integrale tende a quel valore$ x\to 0+ $, tuttavia visto che la $x$ è più piccola dell'estremo inferiore, la funzione integrale cambia di segno rispetto al suo comportamento "classico" quindi la funzione integrale tende a $+\infty$ per $x\to 0+$.
Sicuro? Facendo i conti a me risulta diversamente. Io ho maggiorato l'integrale in questione con un altro integrale avente nell'integranda, al posto di $e^{-x}$ la parabola: $1-x+x^2$ (tangente a $e^{-x}$ in $x=0$), che è sempre maggiore di $e^-x$ per $x > 0$.
Pertanto si pone: $\int_{1}^{0} (1-t+t^2)ln(t) dt > \int_{1}^{0} e^{-t} ln(t) dt = f(0)$
Il fatto è che $\int_{1}^{0} (1-t+t^2)ln(t) dt$ converge a $31/36$ e, pertanto, anche la funzione principale deve convergere. Quindi risulta: $0 < lim_{x -> 0^+} f(x) < 31/36$
PS: il punto di flesso si trova a $x=1/{W(1)}=1/ \Omega \approx 1,76$
Oddio che errore barbino XD
Si è corretto il tuo ragionamento.
Si è corretto il tuo ragionamento.
Grazie ad entrambi per il contributo come prima cosa!
Scusate il ritardo di risposta ma sono tutto il giorno in università e la sera arrivo distrutto!
Ho seguito i passaggi, ora mi metto a farli direttamente su un foglio cosi da capire bene il ragionamento!
Scusate il ritardo di risposta ma sono tutto il giorno in università e la sera arrivo distrutto!
Ho seguito i passaggi, ora mi metto a farli direttamente su un foglio cosi da capire bene il ragionamento!
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