Dubbio su polinomio di Taylor

[gabyaki881]

ho un esercizio che mi chiede di scrivere la serie di Taylor di $f(x)=e^(x^2)+log(1+x^2)$ ed ho scritto quindi f(x)= $ sum_(n = 0)^(+oo) x^(2n)/(n!) + sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n x^(2n+2)/(n+1) $ . Poi mi chiede il Polinomio di Taylor di grado 8 centrato in $x_0=0$ ...ora io so che il polinomio di Taylor ha la formula P(x)=$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) + f''(x_0)(x-x_0)^2/(2!)+...$ perciò mi dovrei calcolare le derivate fino all'ottava di quella funzione ma sono arrivato alla quarta e c'ho messo mezz'ora!!! c'è qualche altro metodo ??? perchè mi sembra strano un esercizio così lungo !!!

[dissonance]

Rileggi quello che hai scritto e vedrai quanto è immediata la risposta. Rifletti prima di partire a macchinetta. Tu hai calcolato la serie di Taylor di una funzione, ovvero

\[\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\]

e non riesci a calcolare un polinomio di Taylor, ovvero

\[\sum_{n=0}^8 \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\ ?\]

[gabyaki881]

quindi dovrebbe venire $1+x^2 +x^2 -x^4/2 +x^4/2 +x^6/3 +x^6/6 -x^8/4 $ ... ho fatto fino ad n=3 giusto per vedere se sto facendo bene...

[ciampax]

Se scrivessi in maniera più compatta quella serie, troveresti più facilmente i coefficienti. Infatti puoi scrivere

$\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{n!}+\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+2}}{n+1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{n!}+\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{n}=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{n!}-\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{n}=1+\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{n!}+\frac{(-1)^n}{n}) x^{2n}$

Ora, visto che devi arrivare fino all'ottavo grado, basta considerare la summa per $n=1..4$, e pertanto

$1+(1-1)x^2+(1/2+1/2)x^4+(1/6-1/3)x^6+(1/24+1/4)x^8=1+x^4-{x^6}/6+{7x^8}/{24}+o(x^8)$

[gabyaki881]

grazie mille !!!