Dubbio su $o-$piccolo
Ciao 
Siccome sto facendo molte dimostrazioni che fanno uso di questo strumento, volevo sanare un dubbio.
Supponiamo di avere tre funzioni definite su un certo dominio $AsubseteqRR^n$ e supponiamo che dato $x_0 inA$ di accumulazione per $A$ si abbia,
$lim_(x->x_0)(f(x)-h(x))/g(x)=0$
Allora diremo che $f-h=o(g),x->x_0$
Ora sembra quasi scontato dire che $f=h+o(g),x->x_0$
Però tanto scontato non mi sembra, quindi intanto partiamo da una considerazione preliminare:
La scrittura $f-g=o(h),x->x_0$ denota una cosa
esistono un intorno $V=V_(x_0)$ e una funzione $w:V->RR$ per cui valgono
• $f-g=w*h, forall x inVcapA$
• $lim_(x->x_0)w(x)=0$
Ora nascono qui le due domande.
1) Dalla prima delle due condizioni per definizione l’o-piccolo sarebbe $h(x)w(x)$?
Ovvero scrivere $f-g=o(h)$ oppure $f-g=hw$ è la stessa cosa?
2) che discende dalla prima. Il motivo per cui possiamo dire che $f=g+o(g)$ è dato dal fatto che quella è un’uguaglianza di funzioni in un opportuno intorno, e che sia $f=g+hw,forallx inVcapA$?
Siccome sto facendo molte dimostrazioni che fanno uso di questo strumento, volevo sanare un dubbio.
Supponiamo di avere tre funzioni definite su un certo dominio $AsubseteqRR^n$ e supponiamo che dato $x_0 inA$ di accumulazione per $A$ si abbia,
$lim_(x->x_0)(f(x)-h(x))/g(x)=0$
Allora diremo che $f-h=o(g),x->x_0$
Ora sembra quasi scontato dire che $f=h+o(g),x->x_0$
Però tanto scontato non mi sembra, quindi intanto partiamo da una considerazione preliminare:
La scrittura $f-g=o(h),x->x_0$ denota una cosa
esistono un intorno $V=V_(x_0)$ e una funzione $w:V->RR$ per cui valgono
• $f-g=w*h, forall x inVcapA$
• $lim_(x->x_0)w(x)=0$
Ora nascono qui le due domande.
1) Dalla prima delle due condizioni per definizione l’o-piccolo sarebbe $h(x)w(x)$?
Ovvero scrivere $f-g=o(h)$ oppure $f-g=hw$ è la stessa cosa?
2) che discende dalla prima. Il motivo per cui possiamo dire che $f=g+o(g)$ è dato dal fatto che quella è un’uguaglianza di funzioni in un opportuno intorno, e che sia $f=g+hw,forallx inVcapA$?
Risposte
Non lo so. Ma prima di addentrarmi nel tuo post, vorrei specificare che la scrittura
\[
f(x)=g(x)+o(h)\]
significa, *per definizione*, che
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-g(x)}{h(x)}.\]
Attenzione perché quella uguaglianza non è proprio una vera uguaglianza, è una scrittura comodissima ma se ti ci metti a cavillare su spuntano vari paradossi. Quindi io non ci cavillerei su
\[
f(x)=g(x)+o(h)\]
significa, *per definizione*, che
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-g(x)}{h(x)}.\]
Attenzione perché quella uguaglianza non è proprio una vera uguaglianza, è una scrittura comodissima ma se ti ci metti a cavillare su spuntano vari paradossi. Quindi io non ci cavillerei su
Ciao dissonance
Il fatto è che quello che hai scritto risulta equivalente a quell’altra definizione.
Di fatto se vale quel rapporto si ha che $w=(f-g)/h$
Poiché si ha che $f-g=h*(f-g)/h$ in almeno un intorno bucato del punto $x_0$
Inoltre $lim_(x->x_0)(f-g)/h=0$ di fatto $(f-g)/h$ è proprio quella funzione $w$ cercata.
Di fatto possiamo dire che in tale intorno $f=g+o(h)$
Il fatto é che molto spesso nei limiti si usa sostituire proprio a $f$ per esempio $g+o(h)$, quindi un minimo di senso dovrà pur averlo. Quello che sto affermato è che sia $o(h)$ significa proprio $h(x)w(x)$ con $w->0$
Il fatto è che quello che hai scritto risulta equivalente a quell’altra definizione.
Di fatto se vale quel rapporto si ha che $w=(f-g)/h$
Poiché si ha che $f-g=h*(f-g)/h$ in almeno un intorno bucato del punto $x_0$
Inoltre $lim_(x->x_0)(f-g)/h=0$ di fatto $(f-g)/h$ è proprio quella funzione $w$ cercata.
Di fatto possiamo dire che in tale intorno $f=g+o(h)$
Il fatto é che molto spesso nei limiti si usa sostituire proprio a $f$ per esempio $g+o(h)$, quindi un minimo di senso dovrà pur averlo. Quello che sto affermato è che sia $o(h)$ significa proprio $h(x)w(x)$ con $w->0$
AAAhh si ok, allora va bene. Certo, è vero, di solito si scrive \(o(h)=h\cdot\epsilon(x)\) dove \(\epsilon(x)\to 0\).
Quindi in poche parole il poter sommare e sottrarre membro a membro vale, perché esiste un intorno nel quella quella scrittura denota una uguaglianza di funzioni no?
Quando facevo analisi uno non gli diedi il peso che merita, in analisi due invece l’ho rivalutato non appena ho dovuto capire la differenziabilitá e alcuni teoremi legati ad esso.
Per evitare di tenere a mente troppe cose preferisci sbatterci la testa più volte
Quando facevo analisi uno non gli diedi il peso che merita, in analisi due invece l’ho rivalutato non appena ho dovuto capire la differenziabilitá e alcuni teoremi legati ad esso.
Per evitare di tenere a mente troppe cose preferisci sbatterci la testa più volte
Si.
Ho risposto ai tuoi dubbi? Sono stato un po' sbrigativo nei messaggi precedenti, e forse ho dato l'impressione di sottovalutare la domanda. Non è così: secondo me fai bene a scriverti gli o-piccoli in quella maniera, nel dubbio. Ho avuto la fortuna di osservare alcuni esperti maneggiare gli o piccoli e grandi e quando le cose si fanno particolarmente incasinate, per evitare errori fanno esattamente come hai fatto tu. Dopo, quando uno ha capito bene, scrive solamente gli o-piccoli e grandi.
Si, il dubbio era dato dal fatto appunto che la notazione può essere ambigua.
In poche parole $o(h(x))$ individua una classe di funzioni che battono $h$ a limite, ma di fatto va trattato come una funzione definita in un certo intorno.
Da questa è discesa un’altra domanda.
Per il teorema delle restrizioni so che se una funzione ammette limite in un certo punto di accumulazione, comunque presa una restrizione di $f$ a un sottoinsieme che ammette lo stesso punto di accumulazione, ammette lo stesso limite.
Ora pensavo, ma su $RR$, le cose risultano equivalenti?
Ovvero se $f$ ammette una restrizione che ammette limite in un suo punto di accumulazione , allora lo ammette anche per la funzione considerata inizialmente?
La domanda mi è venuta quando cominciamo ad usare a caso gli $o-$piccolo.
Per esempio la relazione $sinx=x+o(x)$ sappiamo che in un opportuno intorno bucato di $0$ vale $sinx=x+x*h(x),forall x inV:=B_o(0,delta)capA$
Ovvero significa che $f|_V$ coincide con quella quantità.
Quindi ammesso che io trovi il limite localmente, questa cosa vale anche globalmente?
L’idea per cui mi è venuto che si possa affermare questo è dato dal fatto che per $n>1$ su $RR^n$ i limiti vanno calcolati lungo infinite direzioni, nei quali il limite alle restrizioni potrebbe cambiare lungo determinati cammini.
Ovvero prendendo due curve $x(t),y(t)$ con un sostegno diverso, potrei avvicinarmi al punto con cammini diversi e ci sta che il limite possa non esistere su due cammini distinti.
Invece quando considero una funzione di una variabile ci si può avvicinare soltanto lungo un cammino rettilineo al punto, al più varia la velocità con cui ti avvicini al punto, io ho provato ad abbozzare una dimostrazione, ma prima volevo sapere se ci fossero controesempi in merito.
In poche parole $o(h(x))$ individua una classe di funzioni che battono $h$ a limite, ma di fatto va trattato come una funzione definita in un certo intorno.
Da questa è discesa un’altra domanda.
Per il teorema delle restrizioni so che se una funzione ammette limite in un certo punto di accumulazione, comunque presa una restrizione di $f$ a un sottoinsieme che ammette lo stesso punto di accumulazione, ammette lo stesso limite.
Ora pensavo, ma su $RR$, le cose risultano equivalenti?
Ovvero se $f$ ammette una restrizione che ammette limite in un suo punto di accumulazione , allora lo ammette anche per la funzione considerata inizialmente?
La domanda mi è venuta quando cominciamo ad usare a caso gli $o-$piccolo.
Per esempio la relazione $sinx=x+o(x)$ sappiamo che in un opportuno intorno bucato di $0$ vale $sinx=x+x*h(x),forall x inV:=B_o(0,delta)capA$
Ovvero significa che $f|_V$ coincide con quella quantità.
Quindi ammesso che io trovi il limite localmente, questa cosa vale anche globalmente?
L’idea per cui mi è venuto che si possa affermare questo è dato dal fatto che per $n>1$ su $RR^n$ i limiti vanno calcolati lungo infinite direzioni, nei quali il limite alle restrizioni potrebbe cambiare lungo determinati cammini.
Ovvero prendendo due curve $x(t),y(t)$ con un sostegno diverso, potrei avvicinarmi al punto con cammini diversi e ci sta che il limite possa non esistere su due cammini distinti.
Invece quando considero una funzione di una variabile ci si può avvicinare soltanto lungo un cammino rettilineo al punto, al più varia la velocità con cui ti avvicini al punto, io ho provato ad abbozzare una dimostrazione, ma prima volevo sapere se ci fossero controesempi in merito.
Tl;dr.
Non vedo in tutto ciò che hai scritto una domanda sensata.
Non vedo in tutto ciò che hai scritto una domanda sensata.
Hai ragione, sembra che stessi ‘scrivendo a voce alta’.
Secondo te è possibile affermare, sotto opportune ipotesi, che l’esistenza del limite di una restrizione, implichi l’esistenza dello stesso limite, per la funzione considerata su tutto l’insieme di partenza?
Più formalmente:
Sia $f:A->RR$ funzione con $AsubseteqRR$ e sia $BsubsetA$ un suo sottoinsieme non vuoto.
Sia inoltre $x_0$ punto di accumulazione sia per $A$ che per $B$.
Allora la domanda è: le ipotesi sono sufficienti per dimostrare che,
Se $existsl inRR:lim_((x->x_0),(x inB))f(x)=l$ allora $lim_((x->x_0),(x inA))f(x)=l$?
Io aggiungerei che $B$ deve contenere almeno un intorno circolare(al più bucato) di $x_0$
Secondo te è possibile affermare, sotto opportune ipotesi, che l’esistenza del limite di una restrizione, implichi l’esistenza dello stesso limite, per la funzione considerata su tutto l’insieme di partenza?
Più formalmente:
Sia $f:A->RR$ funzione con $AsubseteqRR$ e sia $BsubsetA$ un suo sottoinsieme non vuoto.
Sia inoltre $x_0$ punto di accumulazione sia per $A$ che per $B$.
Allora la domanda è: le ipotesi sono sufficienti per dimostrare che,
Se $existsl inRR:lim_((x->x_0),(x inB))f(x)=l$ allora $lim_((x->x_0),(x inA))f(x)=l$?
Io aggiungerei che $B$ deve contenere almeno un intorno circolare(al più bucato) di $x_0$
"anto_zoolander":
Hai ragione, sembra che stessi ‘scrivendo a voce alta’.
Secondo te è possibile affermare, sotto opportune ipotesi, che l’esistenza del limite di una restrizione, implichi l’esistenza dello stesso limite, per la funzione considerata su tutto l’insieme di partenza?
Più formalmente:
Sia $f:A->RR$ funzione con $AsubseteqRR$ e sia $BsubsetA$ un suo sottoinsieme non vuoto.
Sia inoltre $x_0$ punto di accumulazione sia per $A$ che per $B$.
Allora la domanda è: le ipotesi sono sufficienti per dimostrare che,
Se $existsl inRR:lim_((x->x_0),(x inB))f(x)=l$ allora $lim_((x->x_0),(x inA))f(x)=l$?
Io aggiungerei che $B$ deve contenere almeno un intorno circolare(al più bucato) di $x_0$
Beh sì, in effetti hai ragione. Mi viene in mente questo esempio:
\[f:A:=[-1,1]\to \mathbb{R},\quad f(x):=
\begin{cases}
1 &\text{se}\ x\in\mathbb{Q}\\
0 &\text{se}\ x\notin\mathbb{Q}
\end{cases}
\qquad x_0=0\qquad B:=A\cap\mathbb{Q}
\]
Hai che
\[\lim_{x\to x_0} f|_B(x)= 0\qquad \nexists\lim_{x\to x_0}f(x)\]
Non mi vengono in mente al momento casi meno "estremi".
E poi certo, se $B$ (e quindi $A$) contiene un intorno di $x_0$, ciò che dici è vero (e si vede immediatamente).
Uno meno estremo che mi viene in mente è:
$f:RR_(0)->RR$ con $f(x)=cos(1/x)$
Il limite in $0$ è noto come non esista.
Invece considerando $A={x inRR:x=1/(2kpi),k inNN_0}$
La restrizione $f|_A$ ammette limite a $+infty$ ovvero in $x=0$ e fa $1$.
Ma di fatto $A$ non contiene nemmeno un intorno circolare del punto $x=0$
Infatti, per il tuo esempio, quando si considerano sottoinsiemi di $QQ$ sappiamo che $Q$ non ha punti interni per la densità in $RR$ quindi potrebbe capitare questa differenza
$f:RR_(0)->RR$ con $f(x)=cos(1/x)$
Il limite in $0$ è noto come non esista.
Invece considerando $A={x inRR:x=1/(2kpi),k inNN_0}$
La restrizione $f|_A$ ammette limite a $+infty$ ovvero in $x=0$ e fa $1$.
Ma di fatto $A$ non contiene nemmeno un intorno circolare del punto $x=0$
Infatti, per il tuo esempio, quando si considerano sottoinsiemi di $QQ$ sappiamo che $Q$ non ha punti interni per la densità in $RR$ quindi potrebbe capitare questa differenza
Comunque la dimostrazione che ho abbozzato è la seguente, non trovo errori logici al momento.
sia $f:A->RR$ una funzione definita su $AsubseteqRR$ e sia $BsubseteqA$ un suo sottoinsieme non vuoto.
Sia inoltre $x_0$ di accumulazione sia per $A$ che per $B$ allora,
Se $x_0$ è un punto interno di $B$ e $existsl inRR:lim_((x->x_0),(x inB))f(x)=l$ allora $lim_(x->x_0)f(x)=l$
Dimostrazione
Se $A=B$ abbiamo finito.
Supponiamo che $BsubsetA$ e poniamo per semplicità $f|_B=g$. Per ipotesi so che,
• $forallepsilon>0exists delta_1>0:|g(x)-l|
• $existsr>0:B(x_0,r)subseteqB$
Ora posto $delta=min{delta_1,r}$ si hanno le seguenti inclusioni.
$B_o(x_0,delta)subsetB(x_0,delta)subseteqB(x_0,r)=>B_o(x_0,delta)subsetBsubsetA$
E inoltre se $x inB_o(x_0,delta)capB$ allora $x inB_o(x_0,delta_1)capB$ allora $|g(x)-l|
Quindi si ha che:
• $B_o(x_0,delta)capB=B_o(x_0,delta)capA$
• $|g(x)-l|
Combinando le due cose, è dato il fatto che tale $r$ esiste sempre,
$|f(x)-l|=|g(x)-l|
Pertanto $lim_(x->x_0)f(x)=l$
sia $f:A->RR$ una funzione definita su $AsubseteqRR$ e sia $BsubseteqA$ un suo sottoinsieme non vuoto.
Sia inoltre $x_0$ di accumulazione sia per $A$ che per $B$ allora,
Se $x_0$ è un punto interno di $B$ e $existsl inRR:lim_((x->x_0),(x inB))f(x)=l$ allora $lim_(x->x_0)f(x)=l$
Dimostrazione
Se $A=B$ abbiamo finito.
Supponiamo che $BsubsetA$ e poniamo per semplicità $f|_B=g$. Per ipotesi so che,
• $forallepsilon>0exists delta_1>0:|g(x)-l|
• $existsr>0:B(x_0,r)subseteqB$
Ora posto $delta=min{delta_1,r}$ si hanno le seguenti inclusioni.
$B_o(x_0,delta)subsetB(x_0,delta)subseteqB(x_0,r)=>B_o(x_0,delta)subsetBsubsetA$
E inoltre se $x inB_o(x_0,delta)capB$ allora $x inB_o(x_0,delta_1)capB$ allora $|g(x)-l|
Quindi si ha che:
• $B_o(x_0,delta)capB=B_o(x_0,delta)capA$
• $|g(x)-l|
Combinando le due cose, è dato il fatto che tale $r$ esiste sempre,
$|f(x)-l|=|g(x)-l|
Pertanto $lim_(x->x_0)f(x)=l$
Queste cose aspetta a farle dopo aver studiato un po' di topologia generale. "Punto interno a \(B\)" cosa significa? Così com'è il teorema è falso: l'unico caso in cui la restrizione non perde informazioni sul limite in \(x_0\) è la restrizione a un intorno di \(x_0\). In topologia, un "intorno aperto" di \(x_0\) è un aperto che contiene \(x_0\) e un "intorno" di \(x_0\) è un qualsiasi insieme che contiene un intorno aperto di \(x_0\).
Per punto interno appunto intendo che esiste un intorno di $x_0$ contenuto in $B$.
Di topologia sono abbastanza agli inizi per il momento, ma per intorno appunto intendo un qualsiasi insieme che contiene un aperto contenente $x_0$. In $RR^n$ le palle aperte sono intorni, quindi equivale a dire che esiste una palla aperta centrata in $x_0$ contenuta nell’insieme.
Io non dico che sia vero, però vorrei trovare l’errore nel caso in cui sia falso.
Di topologia sono abbastanza agli inizi per il momento, ma per intorno appunto intendo un qualsiasi insieme che contiene un aperto contenente $x_0$. In $RR^n$ le palle aperte sono intorni, quindi equivale a dire che esiste una palla aperta centrata in $x_0$ contenuta nell’insieme.
Io non dico che sia vero, però vorrei trovare l’errore nel caso in cui sia falso.
Se $B$ contiene una palla di centro $x_0$ allora è vero e la tua dimostrazione, anche se verbosa, mi pare corretta
Ricordati sempre che sono agli inizi del secondo anno
Tendo ad essere maniacale perché non voglio dire ‘vabbè non lo scrivo tanto è ovvio’, quindi per ora preferisco andare con i piedi di piombo per imparare meglio
Tendo ad essere maniacale perché non voglio dire ‘vabbè non lo scrivo tanto è ovvio’, quindi per ora preferisco andare con i piedi di piombo per imparare meglio
@dissonance: dopo i corsi di Fortunato, Altomare, Borat e via dicendo, come fai a dimenticarti cos'è un punto interno? 
@anto_zoolander: occhio che "$x_0$ interno a $B$" è più di quel che ti occorre...insomma $x_0$ non deve necessariamente stare in $B$ (né in $A$).
@anto_zoolander: occhio che "$x_0$ interno a $B$" è più di quel che ti occorre...insomma $x_0$ non deve necessariamente stare in $B$ (né in $A$).
Beh magari si potrebbe ridurre al considerare $B-{x_0}$ considerare che contenga un intorno bucato di $x_0$, ma più di ridurla a tal modo non saprei(naturalmente se vale per queste restrizioni, vale per le restrizioni agli intorni)
Era proprio quello che intendevo.
Ah ottimo. Ora cerco di dimostrarlo riducendo alleggerendolo
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