Dubbio su $o-$piccolo
Ciao 
Siccome sto facendo molte dimostrazioni che fanno uso di questo strumento, volevo sanare un dubbio.
Supponiamo di avere tre funzioni definite su un certo dominio $AsubseteqRR^n$ e supponiamo che dato $x_0 inA$ di accumulazione per $A$ si abbia,
$lim_(x->x_0)(f(x)-h(x))/g(x)=0$
Allora diremo che $f-h=o(g),x->x_0$
Ora sembra quasi scontato dire che $f=h+o(g),x->x_0$
Però tanto scontato non mi sembra, quindi intanto partiamo da una considerazione preliminare:
La scrittura $f-g=o(h),x->x_0$ denota una cosa
esistono un intorno $V=V_(x_0)$ e una funzione $w:V->RR$ per cui valgono
• $f-g=w*h, forall x inVcapA$
• $lim_(x->x_0)w(x)=0$
Ora nascono qui le due domande.
1) Dalla prima delle due condizioni per definizione l’o-piccolo sarebbe $h(x)w(x)$?
Ovvero scrivere $f-g=o(h)$ oppure $f-g=hw$ è la stessa cosa?
2) che discende dalla prima. Il motivo per cui possiamo dire che $f=g+o(g)$ è dato dal fatto che quella è un’uguaglianza di funzioni in un opportuno intorno, e che sia $f=g+hw,forallx inVcapA$?
Siccome sto facendo molte dimostrazioni che fanno uso di questo strumento, volevo sanare un dubbio.
Supponiamo di avere tre funzioni definite su un certo dominio $AsubseteqRR^n$ e supponiamo che dato $x_0 inA$ di accumulazione per $A$ si abbia,
$lim_(x->x_0)(f(x)-h(x))/g(x)=0$
Allora diremo che $f-h=o(g),x->x_0$
Ora sembra quasi scontato dire che $f=h+o(g),x->x_0$
Però tanto scontato non mi sembra, quindi intanto partiamo da una considerazione preliminare:
La scrittura $f-g=o(h),x->x_0$ denota una cosa
esistono un intorno $V=V_(x_0)$ e una funzione $w:V->RR$ per cui valgono
• $f-g=w*h, forall x inVcapA$
• $lim_(x->x_0)w(x)=0$
Ora nascono qui le due domande.
1) Dalla prima delle due condizioni per definizione l’o-piccolo sarebbe $h(x)w(x)$?
Ovvero scrivere $f-g=o(h)$ oppure $f-g=hw$ è la stessa cosa?
2) che discende dalla prima. Il motivo per cui possiamo dire che $f=g+o(g)$ è dato dal fatto che quella è un’uguaglianza di funzioni in un opportuno intorno, e che sia $f=g+hw,forallx inVcapA$?
Risposte
Ma non c'è da fare niente! Devi semplicemente sostituire $B(x_0,r)$ con $B(x_0,r)\setminus \{x_0\}$ 
Un consiglio, se me lo permetti: capisco che essendo appena all'inizio del secondo anno tu ti gasi per tutto questo formalismo, ma cerca piuttosto di sviluppare di più l'intuizione e l'immaginazione. La dimostrazione ti serve per capire se quello che hai intuito è vero o no, "per distinguere le buone e le cattive idee", dice Terence Tao. Per dire, il teorema che hai enunciato non mi sarei mai sognato di dimostrarlo: basta visualizzare graficamente la situazione per convincersi senza ombra di dubbio che è vero.
Un consiglio, se me lo permetti: capisco che essendo appena all'inizio del secondo anno tu ti gasi per tutto questo formalismo, ma cerca piuttosto di sviluppare di più l'intuizione e l'immaginazione. La dimostrazione ti serve per capire se quello che hai intuito è vero o no, "per distinguere le buone e le cattive idee", dice Terence Tao. Per dire, il teorema che hai enunciato non mi sarei mai sognato di dimostrarlo: basta visualizzare graficamente la situazione per convincersi senza ombra di dubbio che è vero.
Si ma infatti l’idea è partita graficamente. Inizialmente su $RR$ , successivamente su $RR^n$.
Solo che ogni cosa che diciamo ‘intuisco’ devo dimostrarla.
È una cosa che mi piace parecchio
Solo che ogni cosa che diciamo ‘intuisco’ devo dimostrarla.
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