Dubbio su misura di Peano-Jordan
ho un dubbio su un esempio dalla teoria della misura.
Ho trovato scritto che, se E è l'insieme costiuito dai punti x,y del quadrato $0<=x<=1$ e $0<=y<=1$ con coordinate espresse da numeri razionali, risulta secondo Peano-Jordan, che la misura interna = 0 e misura esterna = 1.
Per quanto riguarda la misura esterna OK, dato che ogni plurirettangolo (o plurintervallo) che contiene E, contiene anche il quadrato Q (e che Q stesso contiene tutti i punti di E),
ma ho il dubbio per la misura interna: il libro dice che essa è = 0 perchè non esiste alcun plurirettangolo che sia contenuto all'interno di E.
E il rettangolo con lato = 1 allora? non lo posso considerare come plurirettangolo unico? cioè misura interna = estremo superiore dell'insieme costituito dalle aree di tutti i possibili rettangoli (in questo caso l'insieme contiene solo il quadrato di lato = 1) contenuti in E. E il quadrato di lato = 1 è contenuto in E.
O no?
Ho trovato scritto che, se E è l'insieme costiuito dai punti x,y del quadrato $0<=x<=1$ e $0<=y<=1$ con coordinate espresse da numeri razionali, risulta secondo Peano-Jordan, che la misura interna = 0 e misura esterna = 1.
Per quanto riguarda la misura esterna OK, dato che ogni plurirettangolo (o plurintervallo) che contiene E, contiene anche il quadrato Q (e che Q stesso contiene tutti i punti di E),
ma ho il dubbio per la misura interna: il libro dice che essa è = 0 perchè non esiste alcun plurirettangolo che sia contenuto all'interno di E.
E il rettangolo con lato = 1 allora? non lo posso considerare come plurirettangolo unico? cioè misura interna = estremo superiore dell'insieme costituito dalle aree di tutti i possibili rettangoli (in questo caso l'insieme contiene solo il quadrato di lato = 1) contenuti in E. E il quadrato di lato = 1 è contenuto in E.
O no?
Risposte
Ma il quadrato di lato 1 non è contenuto in $E$ perché contiene, tanto per dirne una, il punto $(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$ che non mi pare a coordinate razionali.
"dissonance":
Ma il quadrato di lato 1 non è contenuto in $E$ perché contiene, tanto per dirne una, il punto $(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$ che non mi pare a coordinate razionali.
Quindi la frase del libro dovrebbe essere integrata in questo modo:
"la misura interna è = 0 perchè non esiste alcun plurirettangolo contenente solo punti dell'insieme (cioè razionali) che sia contenuto all'interno di E ". Giusto?
Un altro esempio che trovo è quello che secondo P-J la misura interna di un intervallo di razionali $[0,1]$ è = 0, mentre la misura esterna è = 1, e quindi secondo Riemann non è integrabile. Sulla misura esterna non ho niente da ridire. E' la misura interna che non mi convince.
Una definizione che ho trovato è che l'insieme dei razionali di $[0,1]$, pensato come unione numerabile di intervalli di lunghezza zero (i suoi punti), ha misura int = 0. Perchè, mi chiedo, questi intervalli sono di lunghezza zero? Forse perchè se effettuo delle sezioni ad esempio tra $1/2-1/n$ e $1/2+1/n$ posso sempre, per n che tende ad infinito, "assottigliare" la sezione, facendo tendere il "taglio" a zero?
La stai facendo molto più complicata di quanto non sia in realtà. Partiamo daccapo, cominciando dal caso $1$-dimensionale, di cui la tua parte $E\subRR^2$ è la generalizzazione.
Affermiamo che esiste una parte di $RR$ non misurabile secondo P.J. . Per dimostrarlo definiamo
$E={x\inRR\ :\ 0<=x<=1, x\inQQ}=[0, 1]nnQQ$.
Ricordiamo le definizioni di misura interna ed esterna secondo P.-J.:
detta, per ogni intervallo $I=[a, b]$ (oppure $[a, b), (a, b), (a, b]$), $L(I)=b-a$,
$m_i(E)="sup"{"L"(I)\ :\ I\ "intervallo",\ I\subE}$
$m_e(E)="inf"{"L"(I)\ :\ I\ "intervallo",\ I\subE}$.
Abbiamo capito che $m_e(E)=1$. Resta da mostrare che $m_i(E)=0$ da cui la non misurabilità di $E$.
Allo scopo ricordiamo la nota proprietà di densità dei numeri razionali e degli irrazionali: in ogni intervallo non vuoto e non ridotto ad un punto cadono sempre almeno un numero razionale e un numero irrazionale. Ma dire che
$I$ intervallo non è vuoto e non è ridotto ad un punto
equivale, in termini di $L$, a dire che
$L(I)>0$.
Veniamo alla nostra parte $E$: essa non può che contenere intervalli vuoti o ridotti ad un solo punto per la proprietà di densità degli irrazionali citata sopra. Ma allora, $\forallI\subE$ risulta $L(I)=0$; in particolare
$m_i(E)="sup"{"L"(I)\ :\ I\ "intervallo",\ I\subE}="sup"{0}=0$.
Affermiamo che esiste una parte di $RR$ non misurabile secondo P.J. . Per dimostrarlo definiamo
$E={x\inRR\ :\ 0<=x<=1, x\inQQ}=[0, 1]nnQQ$.
Ricordiamo le definizioni di misura interna ed esterna secondo P.-J.:
detta, per ogni intervallo $I=[a, b]$ (oppure $[a, b), (a, b), (a, b]$), $L(I)=b-a$,
$m_i(E)="sup"{"L"(I)\ :\ I\ "intervallo",\ I\subE}$
$m_e(E)="inf"{"L"(I)\ :\ I\ "intervallo",\ I\subE}$.
Abbiamo capito che $m_e(E)=1$. Resta da mostrare che $m_i(E)=0$ da cui la non misurabilità di $E$.
Allo scopo ricordiamo la nota proprietà di densità dei numeri razionali e degli irrazionali: in ogni intervallo non vuoto e non ridotto ad un punto cadono sempre almeno un numero razionale e un numero irrazionale. Ma dire che
$I$ intervallo non è vuoto e non è ridotto ad un punto
equivale, in termini di $L$, a dire che
$L(I)>0$.
Veniamo alla nostra parte $E$: essa non può che contenere intervalli vuoti o ridotti ad un solo punto per la proprietà di densità degli irrazionali citata sopra. Ma allora, $\forallI\subE$ risulta $L(I)=0$; in particolare
$m_i(E)="sup"{"L"(I)\ :\ I\ "intervallo",\ I\subE}="sup"{0}=0$.
"caffè":
[quote="dissonance"]Ma il quadrato di lato 1 non è contenuto in $E$ perché contiene, tanto per dirne una, il punto $(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$ che non mi pare a coordinate razionali.
Quindi la frase del libro dovrebbe essere integrata in questo modo:
"la misura interna è $= 0$ perchè non esiste alcun plurirettangolo contenente solo punti dell'insieme $E$ (cioè razionali) che sia contenuto all'interno di $E$". Giusto?[/quote]
Allora è la definizione della relazione $\subseteq$ a non esserti chiara... La misura non c'entra.
Evidentemente dire che un insieme $A$ è contenuto in $B$ (ossia scrivere $A\subseteq B$) equivale a dire che $AA x\in A, \ x\in B$; detto in parole povere $A$ (l'insieme contenuto) è formato tutto da punti di $B$ (insieme contenente).
Insomma, dire che un insieme $A$ è contenuto in un altro $B$ ha "già insita" l'idea che i punti dell'insieme $A$ sono punti di $B$.
Chiaramente, detto $Q$ il quadrato di lato $1$, non può essere $Q\subseteq E$ per quanto appena fattoti notare da dissonance (cioè che esiste un punto di $Q$ che non sta in $E$).
(Inoltre, piccola divagazione terminologica: con "interno di $E$" di solito si indica un insieme ben preciso -come dovresti aver imparato studiando Topologia- il quale, nel caso in esame, è vuoto*.)
__________
* Ciò discende dalla proprietà di densità degli irrazionali richiamata da dissonance.
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