Dubbio su messa in evidenza in Limite di funzione

[thegeekbay1]

Buonasera a tutti! Sto cercando di risolvere questo limite di funzione. Il risultato dell'esercizio deve essere $ e^3 $ , ma non riesco ad arrivarci.

$ lim n -> infty\ ((n^(n+3)-log(n^16+n^27)+3n^(n+1))^(n^2))/n^(n^3+3n^2 $

Ho provato in diversi modi, mettendo in evidenza sia al numeratore che al denominatore il valore $ n^(n+3) $ , ma il massimo del risultato che ottengo è 1 al numeratore, mentre al denominatore non so se continuare lo svolgimento trasformando la radice in una potenza e successivamente mettere in evidenza sempre il valore $ n^(n+3) $ , oppure se ci sta qualche altra strada :/

Grazie in anticipo!

[feddy]

Al numeratore non puoi considerare solamente $n^{n+3}$, poiché tutto il numeratore per esempio è elevato al quadrato di $n$
devi tenerne conto...e ricordare l' identità logaritmica $e^{ln(x)}=x$, per $x>0$

[spugna2]

Può essere d'aiuto questo fatto

$\lim_{n->+\infty} (1+\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n}))^n=e$

[thegeekbay1]

"feddy":Al numeratore non puoi considerare solamente $n^{n+3}$, poiché tutto il numeratore per esempio è elevato al quadrato di $n$
devi tenerne conto...e ricordare l' identità logaritmica $e^{ln(x)}=x$, per $x>0$

Ho provato anche a tenere conto del quadrato di $n$ , ma nulla, non riesco a svolgerlo. Cioè la cosa che non capisco principalmente è dove devo trasformare la potenza in un logaritmo, e sopratutto perché devo farlo. Avere un risposta su questo, sarebbe una salvezza :S

Grazie comunque in anticipo!

[spugna2]

$((n^(n+3)-log(n^16+n^27)+3n^(n+1))^(n^2))/n^(n^3+3n^2) =((n^(n+3)-log(n^16+n^27)+3n^(n+1))/n^(n+3))^(n^2)=$
$=[(1+3/n^2-log(n^16+n^27)/n^(n+3))^(n^2/3)]^3$

A questo punto se dimostri che $log(n^16+n^27)/n^(n+3)$ è un infinitesimo trascurabile hai finito: ti basta far vedere che è un $o(n^(-2))$, ed è relativamente facile...