Dubbio su limiti e potenze [mi serve capire per risolvere le serie]

[annalisa.bianchi.9]

Se ho ad es. lim n-> +/- oo di (-1)^n quanto fa? io sapevo che k^+oo è +oo per k>1 e invece è 0 per 0

[ciampax]

Guarda che quello che dici va bene solo per basi positive. Quando invece la base è negativa, si ragiona in questo modo: osserva che

[math](-1)^n=\left\{\begin{array}{lcl}
1 & & n=2m\\ -1 & & n=2m+1
\end{array}\right.[/math]

Questa cosa ti porta a concludere che il limite non esiste, in quanto il "più infinito" non può essere classificato come pari o dispari. Più "precisamente" puoi dire che il limite, se esiste, deve essere pari a 1 o a -1 (unici due valori possibili di quella potenza). Ma se fosse pari a 1 si avrebbe, per definizione di limite, che

[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists\ n_\epsilon>0\ |\ \forall\ n>n_\epsilon\ \Rightarrow\ |(-1)^n-1|