Dubbio su limiti con Taylor
Ciao a tutti, ritorno con una domanda stupida, ma che mi sta facendo diventare matto. Nei limiti tipo: $lim_(x -> 0) (x^3 + e^x + ln(1 + x))/x^5$ in cui bisogna ricorrere ai polinomi di Taylor e controllare gli ordini di infinitesimo, c' è stato sempre insegnato di non considerare gli esponenziali durante le sostituzioni con Taylor, in quanto sono già infinitesimi di ordine superiore a qualunque polinomio di x.
Però in un limite che ho postato qualche giorno fa, bisogna trovare il valore del limite al variare di un parametro $a$, che era proprio argomento di un esponenziale. Di conseguenza sono stato "costretto" a sviluppare quel polinomio.
La mia domanda quindi è: ci sono casi particolari in cui bisogna sviluppare anche l' esponenziale ? o si deve farlo solo nel caso in cui il suo arogmento può variare ?
Però in un limite che ho postato qualche giorno fa, bisogna trovare il valore del limite al variare di un parametro $a$, che era proprio argomento di un esponenziale. Di conseguenza sono stato "costretto" a sviluppare quel polinomio.
La mia domanda quindi è: ci sono casi particolari in cui bisogna sviluppare anche l' esponenziale ? o si deve farlo solo nel caso in cui il suo arogmento può variare ?
Risposte
Dev'esserci uno sbaglio.
$lim_(x -> 0) (x^3 + e^x + ln(1 + x))/x^5$
La funzione a numeratore non è un infinitesimo.
$lim_(x -> 0) (x^3 + e^x + ln(1 + x))/x^5$
La funzione a numeratore non è un infinitesimo.
Così va meglio: $lim_(x -> 0) (x^3 + e^x - 1 + ln(1 + x))/x^5$
"stefano_89":
Taylor e controllare gli ordini di infinitesimo, c' è stato sempre insengato di non considerare il gli esponenziali durante le sostituzioni con Taylor, in quanto sono già infinitesimi di ordine superiore a qualunque polinomio di x.
Credo tu abbia un po' di confusione. $e^(x)$ per $x -> +oo$ è un infinito di ordine superiore rispetto ad ogni ordine reale. Non so, prova a spiegarti meglio.
Voglio dire, ad esempio in questo link: http://didattica.dmsa.unipd.it/mod/reso ... php?id=112
Nel secondo esercizio, nelle soluzioni, viene riportato quello che ho detto prima..[/code]
Nel secondo esercizio, nelle soluzioni, viene riportato quello che ho detto prima..[/code]
Ah forse ho risolto, confondevo il limite per $x -> 0$ di $e^x - 1$ con $e^(-1/x)$. Ed effettivamene è il secondo ad essere infinitesimo di ordine superiore, giusto ? 
D'accordo, ho capito. La questione è ben diversa da quella che interessa l'esercizio che hai postato aprendo il topic.
Esattamente.
$e^(x) - 1$ è un infinitesimo del prim'ordine. Dimostriamo subito che $e^(-1/x)$ è di ordine superiore rispetto a $x^alpha$.
$lim_(x -> 0^+) (e^(-1/x))/x^(alpha)$
$x = 1/z$
$lim_(x -> +oo) (z^(alpha))/(e^(z)) = 0$, $AA alpha > 0$
Esattamente.
$e^(x) - 1$ è un infinitesimo del prim'ordine. Dimostriamo subito che $e^(-1/x)$ è di ordine superiore rispetto a $x^alpha$.
$lim_(x -> 0^+) (e^(-1/x))/x^(alpha)$
$x = 1/z$
$lim_(x -> +oo) (z^(alpha))/(e^(z)) = 0$, $AA alpha > 0$
Certo grazie mille..
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