Dubbio su limite Sciocco.

[Danying]

volevo un commento su questo limite....

avendo una forma $ (infty+-k)/(infty) $ , con k costante reale......si possono usare lo stesso i teoremi di "De L'Hopital".. ?


nello specifico $lim_(x to infty) (x^3-1)/(4x+x^3)$ , dovrebbe venire $1$ , ma il risultato è dato dalla forma finale dopo aver applicato più volte il teorema di De Hopital. cioè $6/6$ ??


oppure da qualche altro stratagemma ...e quindi è errato il modo in cui ho risolto...??

grazie per i chiarimenti....

[K.Lomax]

Limiti del tipo:

[tex]\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+......+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+......+b_0}[/tex]

si risolvono per confronto tra infiniti, ed il risultato dipende dal valore di [tex]n[/tex] e [tex]m[/tex]. Essendo del tipo [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex] è possibile utilizzare Hopital, ma direi che non è proprio il caso di scomodarlo per limiti così semplici

[Danying]

"K.Lomax":Limiti del tipo:

[tex]\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+......+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+......+b_0}[/tex]

si risolvono per confronto tra infiniti, ed il risultato dipende dal valore di [tex]n[/tex] e [tex]m[/tex]. Essendo del tipo [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex] è possibile utilizzare Hopital, ma direi che non è proprio il caso di scomodarlo per limiti così semplici

già .........


ehm... stesso discorso vale per gli "infinitesimi" giusto ??

[K.Lomax]

Beh, nel caso che ti ho riportato, con [tex]x\to0[/tex] il limite diventa banalmente [tex]\frac{a_0}{b_0}[/tex]. Nell'ipotesi in cui non ci siano i termini noti, il discorso è esattamente l'opposto. Ovvero, non sono da considerare i termini di ordine maggiore. D'altra parte se [tex]x\to0[/tex] puoi sostituire [tex]x=\frac{1}{y}[/tex] e il limite diventa nuovamente per confronto tra infiniti in [tex]y[/tex].

[Danying]

"K.Lomax":Beh, nel caso che ti ho riportato, con [tex]x\to0[/tex] il limite diventa banalmente [tex]\frac{a_0}{b_0}[/tex]. Nell'ipotesi in cui non ci siano i termini noti, il discorso è esattamente l'opposto. Ovvero, non sono da considerare i termini di ordine maggiore. D'altra parte se [tex]x\to0[/tex] puoi sostituire [tex]x=\frac{1}{y}[/tex] e il limite diventa nuovamente per confronto tra infiniti in [tex]y[/tex].

mentre per limiti con ordine di infinito uguale...
tipo:

$lim_(x to +infty) (x^2+sqrt(3x^2+1))/(5x^2)$ ?? il limite fa $1/5$ , ma ancora non ho imparato a trovare la strada più veloce per risolvere...

in questo caso conviene usare de l'hopital ?.... $->$ $ [2x+ (6x)/(2*sqrt(3x^2+1))]/[10x]$


... come ci riconduciamo ad $1/5$ ?? , sarebbe scontata la semplificazione $(2x)/(10x)$ ... e tutto il resto ??

[K.Lomax]

Dato il seguente limite:

[tex]\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+......+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+......+b_0}[/tex]

prevalendo sempre il termine di grado superiore si hanno 3 casi:

1) [tex]n>m[/tex]: il limite fa [tex]\pm\infty[/tex] (il segno dipende da [tex]n-m[/tex])
2) [tex]n=m[/tex]: il limite fa [tex]\frac{a_n}{b_m}[/tex]
3) [tex]n
Per questo tipo di limite non utilizzare Hopital.