Dubbio su limite

[antani2]

$lim_(x->+oo) e^(-x)/sinx$ tende a 0 perchè l'esponenziale tende a 0 o non esiste perchè il seno si annulla in ogni intorno dell'infinito?


Secondo me è la seconda, però non riesco a dare una giustificazione precisa...
Ho provato a cercare una successione $x_n->_(->oo)+oo$ tale che $lim->_(n->oo)f(x_n)->k diverso da 0$ ma non trovo nulla.

Chi mi sa dare una spiegazione precisa?

[gugo82]

Il limite non esiste.

Infatti in ogni intorno di [tex]$+\infty$[/tex] esistono punti in cui il valore assoluto della funzione è arbitrariamente grande o arbitrariamente vicino a zero.
Per vederlo, ad esempio, fissa [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] e cerca di determinare in [tex]$]n\pi, (n+1)\pi[$[/tex] due punti [tex]$x_n,y_n$[/tex] tali che:

[tex]$\frac{e^{-x_n}}{|\sin x_n|} <\frac{1}{n}$[/tex] e [tex]$\frac{e^{-y_n}}{|\sin y_n|} >n$[/tex].

Ti potrebbe servire il fatto che [tex]$e^{-(n+1)\pi}< e^{-x}< e^{n\pi}$[/tex] in [tex]$]n\pi ,(n+1)\pi[$[/tex].

A questo punto hai finito, perchè hai:

[tex]$\lim_n \frac{e^{-x_n}}{|\sin x_n|} =0\neq+\infty =\lim_n \frac{e^{-y_n}}{|\sin y_n|}$[/tex].