Dubbio su limite
$\lim_{x \to \+infty}log(1+x)*log(1+1/logx)$
E' il limite che ho avuto giusto oggi all'esame di analisi 1.
Ho provato innanzitutto a fare uso della regola di De L'Hospital, ma almeno a prima vista i calcoli si son fatti complessi.
Ho provato successivamente ad applicare la sostituzione x=1/t per ricondurre la prima parte del limite al limite notevole $\lim_{t->0}log(1+1/t)/(1/t)$
per potermi poi concentrare sulla seconda. Arrivavo al punto in cui dovevo calcolare $\lim_{t->0}1/(tlog^2(1/t))$ che se non vado errando dovrebbe risultare nella forma 1/0=infinito risostituendo t con x il limite finale mi torna 0.
Chiedo la vostra pazienza per poter eventualmente revisionare i conti al fine di porre fine alla questioneal problema.
E' il limite che ho avuto giusto oggi all'esame di analisi 1.
Ho provato innanzitutto a fare uso della regola di De L'Hospital, ma almeno a prima vista i calcoli si son fatti complessi.
Ho provato successivamente ad applicare la sostituzione x=1/t per ricondurre la prima parte del limite al limite notevole $\lim_{t->0}log(1+1/t)/(1/t)$
per potermi poi concentrare sulla seconda. Arrivavo al punto in cui dovevo calcolare $\lim_{t->0}1/(tlog^2(1/t))$ che se non vado errando dovrebbe risultare nella forma 1/0=infinito risostituendo t con x il limite finale mi torna 0.
Chiedo la vostra pazienza per poter eventualmente revisionare i conti al fine di porre fine alla questioneal problema.
Risposte
Scusa, cercando di applicare il limite notevole del logaritmo (che è la cosa più saggia da fare al primo tentativo sempre; invece il teorema di de l'Hospital è proprio una delle ultimissime risorse...) ti puoi ricondurre a:
[tex]$\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln (1+x)}{\ln x} \cdot \frac{\ln \left( 1+\frac{1}{\ln x}\right)}{\frac{1}{\ln x}}$[/tex]
semplicemente moltiplicando e dividendo per [tex]$\frac{1}{\ln x}$[/tex].
Il secondo fattore del prodotto ha limite [tex]$1$[/tex] (per il suddetto limite fondamentale); il limite dell'altro fattore è semplice da calcolare; il teorema sul prodotto dei limiti fa il resto.
[tex]$\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln (1+x)}{\ln x} \cdot \frac{\ln \left( 1+\frac{1}{\ln x}\right)}{\frac{1}{\ln x}}$[/tex]
semplicemente moltiplicando e dividendo per [tex]$\frac{1}{\ln x}$[/tex].
Il secondo fattore del prodotto ha limite [tex]$1$[/tex] (per il suddetto limite fondamentale); il limite dell'altro fattore è semplice da calcolare; il teorema sul prodotto dei limiti fa il resto.
Avendoti già risposto Gugo, cancello il mio intervento.
Comunque ti faccio notare che il limite notevole che avevi in mente tu è il seguente:
$\lim_{t->+oo}log(1+1/t)/(1/t)$
Comunque ti faccio notare che il limite notevole che avevi in mente tu è il seguente:
$\lim_{t->+oo}log(1+1/t)/(1/t)$
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