Dubbio su l'Hospital
Mi chiedevo se era lecito, dato un limite con forma di indecisione ad esempio $ 0/0 $ o $ oo /oo $ applicare prima un asintotico per esempio al denominatore e poi applicare il teorema di de l'Hospital.
Per esempio dato il limite:
$ lim_(x -> 0) (x^2-arctan^2x)/(1-cosx)^3 $
È lecito sostituire $ (1-cosx)^3 $ con $ 1/8 x^6 $ e poi derivare numeratore e denominatore?
Per esempio dato il limite:
$ lim_(x -> 0) (x^2-arctan^2x)/(1-cosx)^3 $
È lecito sostituire $ (1-cosx)^3 $ con $ 1/8 x^6 $ e poi derivare numeratore e denominatore?
Risposte
Mmm... Dipendesse da me, non lo considererei un passaggio giusto a meno che non fosse giustificato alla perfezione.
Insomma, per giustificarlo dovresti tirare in ballo qualche proprietà "seria" del polinomio di Taylor e dovresti faticare di più del dovuto. Se ti senti pronto a farlo, bene; altrimenti prendi un'altra strada.
Ma ad ogni modo, una volta che usi le approssimazioni di Taylor, praticamente riduci tutto il limite al calcolo di un limite in cui figurano solo potenze... Ed un limite del genere lo risolvi ad occhi chiusi.
Insomma, per giustificarlo dovresti tirare in ballo qualche proprietà "seria" del polinomio di Taylor e dovresti faticare di più del dovuto. Se ti senti pronto a farlo, bene; altrimenti prendi un'altra strada.
Ma ad ogni modo, una volta che usi le approssimazioni di Taylor, praticamente riduci tutto il limite al calcolo di un limite in cui figurano solo potenze... Ed un limite del genere lo risolvi ad occhi chiusi.
L'avevo fatto e mi era uscito chiedevo per sapere se quel metodo era lecito. Grazie mille per la risposta.
Te l'ho detto... In alcuni casi è lecito, ma la giustificazione non è del tutto immediata.
Precisamente, il procedimento è sicuramente giusto nel caso si abbia a che fare con funzioni analitiche che si annullano in un punto (quindi, nel caso di particolari indeterminazioni del tipo \(\frac{0}{0}\)), oppure coi reciproci di funzioni analitiche che si annullano in un punto (quindi, nel caso di particolari indeterminazioni del tipo \(\frac{\infty}{\infty}\)).
In altri casi, ci dovrei pensare.
Precisamente, il procedimento è sicuramente giusto nel caso si abbia a che fare con funzioni analitiche che si annullano in un punto (quindi, nel caso di particolari indeterminazioni del tipo \(\frac{0}{0}\)), oppure coi reciproci di funzioni analitiche che si annullano in un punto (quindi, nel caso di particolari indeterminazioni del tipo \(\frac{\infty}{\infty}\)).
In altri casi, ci dovrei pensare.
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