Dubbio su integrlae improprio
Ciao a tutti volevo capire come mai in alcuni integrali come questo si divide in più integrali con estremi di integrazione diversi...vorrei se è possibile una spiegazione pratica su come fare....e perchè
$ int_(0)^(+oo)=int_(0)^(1) +int_(1)^(+oo) $
non si poteva integrare direttamente da 0 a +oo?
$ int_(0)^(+oo)
non si poteva integrare direttamente da 0 a +oo?
Risposte
Infatti non c'è motivo di spezzare l'integrale... A meno che gli estremi siano $-oo$ e $+oo$, nel qual caso
andrebbe spezzato in un integrale da $-oo$ a $-1$ e in un altro da $-1$ a $+oo$.
P.S. Le formule sono scritte un po' male...
andrebbe spezzato in un integrale da $-oo$ a $-1$ e in un altro da $-1$ a $+oo$.
P.S. Le formule sono scritte un po' male...
Però c'è il problema in $0$ (il logaritmo non è limitato in un intorno destro dell'origine): siccome è bene "studiare" un problema alla volta, conviene spezzare l'integrale in 2 addendi, ciascuno dei quali presenta un solo problema.
P.S. Heilà Francesco! Chi si rivede
P.S. Heilà Francesco! Chi si rivede
Ops... Sì, avevo letto integrale da $1$ a $+oo$ e non da $0$... 
Comunque 1 è un numero qualunque, potrei spezzare anche in $int_0^a + int_a^(+oo)$ per qualsiasi $a>0$...
Comunque 1 è un numero qualunque, potrei spezzare anche in $int_0^a + int_a^(+oo)$ per qualsiasi $a>0$...
"fireball":
Ops... Sì, avevo letto integrale da $1$ a $+oo$ e non da $0$...
Comunque 1 è un numero qualunque, potrei spezzare anche in $int_0^a + int_a^(+oo)$ per qualsiasi $a>0$...
Ovviamente.
"Paolo90":
il logaritmo non è limitato in un intorno destro dell'origine
Però è controllato da $x$ che in un intorno destro di 0 è ovviamente integrabile... Quindi rimane da studiare l'integrabilità a $+oo$.
Sarà anche così, non ho fatto i "conti".
E' più una questione di metodo: quando mi trovo davanti a un integrale improprio comincio a chiedermi: "Dove sono i problemi"?
Di tutti i punti che non "vanno bene" per la funzione, escludo - ovviamente - quelli in cui l'integrando è prolungabile per continuità.
Quindi, spezzo l'integrale per tutti i punti rimasti e discuto singolarmente ogni addendo.
L'integrale di partenza converge sse convergono tutti gli addendi.
E' più una questione di metodo: quando mi trovo davanti a un integrale improprio comincio a chiedermi: "Dove sono i problemi"?
Di tutti i punti che non "vanno bene" per la funzione, escludo - ovviamente - quelli in cui l'integrando è prolungabile per continuità.
Quindi, spezzo l'integrale per tutti i punti rimasti e discuto singolarmente ogni addendo.
L'integrale di partenza converge sse convergono tutti gli addendi.
Scusate, ho detto una stupidaggine: il criterio del confronto si può usare solo quando $0 <= f(x)<=g(x)$; in questo
caso, anche se $0<=x$ in un intorno destro di 0 (ovviamente), non è $0<=log x$ nello stesso intorno, quindi il criterio
del confronto per l'integrale di $log x$ in un intorno destro di 0 non si può usare. Si può verificare solo con la definizione (calcolandolo)
che, per $alpha>0$, $int_0^alpha logx dx= alpha log alpha - alpha$ (quindi converge).
caso, anche se $0<=x$ in un intorno destro di 0 (ovviamente), non è $0<=log x$ nello stesso intorno, quindi il criterio
del confronto per l'integrale di $log x$ in un intorno destro di 0 non si può usare. Si può verificare solo con la definizione (calcolandolo)
che, per $alpha>0$, $int_0^alpha logx dx= alpha log alpha - alpha$ (quindi converge).
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