Dubbio su integrale secondo Riemann

[Frostman]

Buon pomeriggio, avrei un dubbio sulla definizione dell'integrale secondo Riemann in $ mathbb(R)^n $.
Il nostro prof ci ha fatto una carrellata di definizioni introducendo il concetto di funzione caratteristica, supporto di una funzione e funzione semplice. Nel momento in cui inizia a darci la definizione (considerando $mathbb(R)^2$) ci dice:

"Prendo una funzione f a supporto compatto e limitata e costruisco due insiemi"

$ S^+ = {varphi\ \ semplici \ \ : varphi(x,y)>=f(x,y) vv (x,y) in mathbb(R)^2 } $
$ S^(-) = {varphi\ \ semplici \ \ : varphi(x,y)<=f(x,y) vv (x,y) in mathbb(R)^2 } $

$f$ è integrabile (secondo Riemann) se l'integrale dell'estremo inferiore di $ S^+ $e l'integrale dell'estremo superiore di $ S^- $coincidono

Non capisco dove sia l'utilizzo dell'ipotesi che $f$ è una funzione a supporto compatto.

[gugo82]

Immagino che:
\[
S^- := \left\{ \int_{\mathbb{R}^2} \varphi(x,y)\ \text{d} x\text{d}y, \text{ con } \varphi \text{ semplice e } \varphi \leq f \text{ in } \mathbb{R}^2\right\}
\]
ed analogamente per $S^+$.
Il fatto che $f$ abbia supporto compatto viene usato per garantire che tutte le funzioni semplici minoranti abbiano supporti limitati e, dunque, che i loro integrali siano finiti; nonché per garantire l’esistenza di almeno una funzione semplice maggiorante con supporto limitato e, perciò, integrale finito.

[Frostman]

Perfetto, ora mi torna! Grazie mille!