Dubbio su integrale fratto

[crazymath]

ciao ragazzi, ho un piccolo dubbio. è giusto il passaggio che ho impiegato per la risoluzione del seguente integrale?

`int (1/(2(x-1)^(1/2))) dx = int (-2(x-1)^(1/2)) dx`

grazie!

[_Tipper]

No, è sbagliato. Puoi portare $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale e portare $(x-1)^{\frac{1}{2}}$ al numeratore cambiano segno all'esponente.

[crazymath]

sì, scusa, mi ero scordato il meno nell'esponente, in realtà sarebbe


`int (1/(2(x-1)^(1/2))) dx = int (-2(x-1)^(-1/2)) dx`

così è giusto?

[_Tipper]

No, non è giusto. Va bene portare $(x-1)^{\frac{1}{2}}$ al numeratore cambiando segno all'esponente, ma perché porti il $2$ dal denominatore al numeratore cambiandogli segno?

[crazymath]

quindi tu dici di uscire direttamente il 2 del denominatore (che poi sarebbe `1/2`), e quindi diventa così?

`int (1/(2(x-1)^(1/2))) dx = 1/2 int (x-1)^(-1/2) dx`

[_Tipper]

Sì, così è giusto.

[crazymath]

grazie mille!

[crazymath]

mhm....

visto che la soluzione non coincideva con quella del libro, ho adottato la seguente (riporto lo svolgimento completo):

`int 1/(2 sqrt(x-1)) dx = int 1/(2 (x-1)^(1/2)) dx = int 1/2 1/((x-1)^(1/2)) dx = int 1/2 (x-1)^(-1/2) = (x-1)^(1/2) + c = sqrt(x-1) + c`

considerando che la primitiva è

`(x-1)^(1/2)`

e che la verifica risulta

`1/2 (x-1)^(-1/2)`

con questo svolgimento la soluzione risulta uguale a quella del libro. che ne dite?

[_Tipper]

Va bene, ma... perché non coincideva?

[crazymath]

ehm... non mi ero accorto che 1/2 ce l'avevo lo stesso fuori dall'integrale...

grazie!