Dubbio su Integrale e integrali in generale

[moreno.marzioli.moreno]

Salve ho provato a svolgere questo tipo di integrale (allego la foto per far vedere bene i passaggi che ho svolto) , vorrei sapere dove ho sbagliato e non la soluzione , inoltre in generale quando mi trovo davanti ad un integrale quale tra : ( scomposizione per somma prodotto , sostituzione , per parti) dovrei utilizzare perchè ogni volta vado nel pallone , grazie a tutt

[singularity]

Sbagli perché, una volta posto $ t= sqrt( x+1 )$ , devi riscrivere la funzione integranda in funzione di $t$! Non puoi porre quella condizione e lasciare invariato il denominatore. Quindi ricava la $x$ dalla condizione che hai posto e vedrai come cambia la funzione integranda! Lo stesso vale per il dt! $dt = 1/(2sqrt(x+1))dx$ , quindi dx "quanto vale"?

In generale non esiste una ricetta per capire quale tecnica di integrazione usare, bastano (si fa per dire) tanti tanti esercizi, alla fine ci farai l'occhio

[moreno.marzioli.moreno]

Purtoppo è proprio questo che non riesco a focalizzare ok suppongo che y = sqrt(x+1) quindi x = log y? è questo passaggio che non capisco perchè se cosi fosse ho che dx = 1/y dy

[singularity]

"AlfaPigreco":[...] ok suppongo che y = sqrt(x+1) quindi x = log y? [...]

Non ci siamo proprio...

$y=sqrt(x+1)$
Devi tirar fuori $x+1$ da quella radice, basta elevare entrambi i membri al quadrato.

[moreno.marzioli.moreno]

E questo passaggio non riesco a fare nel senso devi portare fuori la x in questo caso che è radice elevi e la radice va via ok , ma in altri casi tipo con cos^2x ?

[singularity]

Purtroppo, come ti dicevo, non c'è una regola generale per risolvere gli integrali. Non c'è una regola che ti permette di stabilire il metodo "giusto" (ammesso che sia UNO solo...), così come, nell'integrazione per sostituzione non c'è una regola precisa per capire quale sia la sostituzione più conveniente. Ma sarà meglio che ti faccia un esempio:

$ int_(pi/2)^(pi) cos^3xsenx dx $

In questo caso hai molti modi per procedere, probabilmente inegrando per parti potresti arrivare a qualcosa di più semplice. A me (e sottolineo, A ME) viene spontaneo fare una sostituzione del tipo:

$t = cosx$
da cui
$dt = -senx dx$
che, guarda un po', mi permette di riscrivere l'integrale come

$-int_(0)^(-1) t^3 dt = int_(-1)^(0) t^3dt $ (premurandomi di ricalcolare gli estremi di integrazione in base alle condizioni poste)

Ti ripeto, può sembrare strano o addirittura impossibile "azzeccare" la sostituzione giusta, ma ti assicuro che dopo un bel po' di esercizi ti verrà quasi naturale