Dubbio su integrale doppio, estremi...
Questo è l'esercizio in questione:
$ int int (xy)/(x^2+y^2)^2 dx dxy $
su questo dominio:
$ x<=0 $
$ y>=x^2 $
$ x^2+y^2>=1 $
Che risulta essere: http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot+x+%3C%3D+0+AND+y+%3E%3D+x^2+AND+x^2+%2B+y^2+%3E%3D+1
A questo punto trovo l'intersezione tra la parobola e la circonferenza che sarà data da:
$ x=-sqrt((sqrt(5)-1)/2) $ $ y=(sqrt(5)-1)/2 $
Che rappresentano rispettivamente $ cos bar (theta) $ e $ sin bar (theta) $
Passando in coordinate polari avrò che $ theta $ varia tra $ pi/2 $ e $ bar (theta)=arctan(y/x)=arctan(-sqrt((sqrt(5)-1)/2)) $
Mentre per $ rho $ ottengo $ 1<=rho<=sin(theta)/(cos^2(theta)) $
Ottengo questo integrale:
$ int int (cos(theta)sin(theta))/rho drho d theta = int_(pi/2)^(bar theta) cos(theta)sin(theta) d theta int_(1)^(sin(theta)/(cos^2(theta))) 1/rho drho = int_(pi/2)^(bar theta) cos(theta)sin(theta)ln(sin(theta)/(cos^2(theta))) d theta $
che spezzo in:
$ int_(pi/2)^(bar theta) cos(theta)sin(theta)ln(sin(theta)) d theta -2int_(pi/2)^(bar theta) cos(theta)sin(theta)ln(cos(theta)) d theta $
risolvo in modo analogo i 2 integrali operando un cambio di variabile $ t=sin(theta) $ per il primo e $ t=cos(theta) $ per il secondo, ometto i passaggi vari che sono semplici ed ho come risultato:
$ ((t^2)/2)(ln(t)-1/2) $ con t tra $ 1 $ e $ (sqr(5)-1)/2 $
$ +t^2(ln(t)-1/2) $ con t tra $ 0 $ e $ -sqrt((sqrt(5)-1)/2) $
ho fatto bene fin qui? Ora non capisco come mettere gli estremi di integrazione per arrivare al valore numerico...quale devo mettere come estremo inferiore e quale superiore in ognuno dei 2 integrali?
In ogni caso nel secondo integrale quando vado a sostituire l'estremo negativo (la radice) ottengo il logaritmo di un argomento negativo...HELP!
Sono in confusione totale...
$ int int (xy)/(x^2+y^2)^2 dx dxy $
su questo dominio:
$ x<=0 $
$ y>=x^2 $
$ x^2+y^2>=1 $
Che risulta essere: http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot+x+%3C%3D+0+AND+y+%3E%3D+x^2+AND+x^2+%2B+y^2+%3E%3D+1
A questo punto trovo l'intersezione tra la parobola e la circonferenza che sarà data da:
$ x=-sqrt((sqrt(5)-1)/2) $ $ y=(sqrt(5)-1)/2 $
Che rappresentano rispettivamente $ cos bar (theta) $ e $ sin bar (theta) $
Passando in coordinate polari avrò che $ theta $ varia tra $ pi/2 $ e $ bar (theta)=arctan(y/x)=arctan(-sqrt((sqrt(5)-1)/2)) $
Mentre per $ rho $ ottengo $ 1<=rho<=sin(theta)/(cos^2(theta)) $
Ottengo questo integrale:
$ int int (cos(theta)sin(theta))/rho drho d theta = int_(pi/2)^(bar theta) cos(theta)sin(theta) d theta int_(1)^(sin(theta)/(cos^2(theta))) 1/rho drho = int_(pi/2)^(bar theta) cos(theta)sin(theta)ln(sin(theta)/(cos^2(theta))) d theta $
che spezzo in:
$ int_(pi/2)^(bar theta) cos(theta)sin(theta)ln(sin(theta)) d theta -2int_(pi/2)^(bar theta) cos(theta)sin(theta)ln(cos(theta)) d theta $
risolvo in modo analogo i 2 integrali operando un cambio di variabile $ t=sin(theta) $ per il primo e $ t=cos(theta) $ per il secondo, ometto i passaggi vari che sono semplici ed ho come risultato:
$ ((t^2)/2)(ln(t)-1/2) $ con t tra $ 1 $ e $ (sqr(5)-1)/2 $
$ +t^2(ln(t)-1/2) $ con t tra $ 0 $ e $ -sqrt((sqrt(5)-1)/2) $
ho fatto bene fin qui? Ora non capisco come mettere gli estremi di integrazione per arrivare al valore numerico...quale devo mettere come estremo inferiore e quale superiore in ognuno dei 2 integrali?
In ogni caso nel secondo integrale quando vado a sostituire l'estremo negativo (la radice) ottengo il logaritmo di un argomento negativo...HELP!
Sono in confusione totale...
Risposte
Il passaggio a coordinate polari è senz'altro comodo per la crf ma non lo è per la parabola.
Credo sia meglio restare con le coordinate cartesiane integrando tra questi estremi :
$-(...) <=x<=0 ; x^2<= y <= sqrt(1-x^2)$
Credo sia meglio restare con le coordinate cartesiane integrando tra questi estremi :
$-(...) <=x<=0 ; x^2<= y <= sqrt(1-x^2)$
ma quello che ho fatto io è sbagliato?
Se tutti i passaggi sono giusti alla fine mi rimane solo quel dubbio finale...ovvero quando devo sostituire gli estremi che mi viene un logaritmo con argomento negativo e quindi non so come comportarmi...
Inoltre quando trovo gli estremi di integrazione sui 2 integrali finali capita che l'estremo superiore venga < di quello inferiore...che devo fare? li devo invertire? cambiare segno a tutto l'integrale?
Se tutti i passaggi sono giusti alla fine mi rimane solo quel dubbio finale...ovvero quando devo sostituire gli estremi che mi viene un logaritmo con argomento negativo e quindi non so come comportarmi...
Inoltre quando trovo gli estremi di integrazione sui 2 integrali finali capita che l'estremo superiore venga < di quello inferiore...che devo fare? li devo invertire? cambiare segno a tutto l'integrale?
Sei sicuro che sia $x^2+y^2 >= ! $ ? In tal caso il dominio è illimitato...
Si sono sicuro del testo...è stato su un appello di Matematica II, all'UNIVPM...
L'integrale è stato risolto dal professore nel modo che ho scritto io...solo che poi non ha calcolato i valori numerici ed è lì che viene il mio dubbio...
Riguardandolo ho notato che manca il valore assoluto sul logaritmo, quindi l'unico dilemma sarebbe quando vado a sostituire in $ t $ l'estremo inferiore cioè $ 0 $ sull'ultimo integrale...ottengo $ ln(0) $ !
L'integrale è stato risolto dal professore nel modo che ho scritto io...solo che poi non ha calcolato i valori numerici ed è lì che viene il mio dubbio...
Riguardandolo ho notato che manca il valore assoluto sul logaritmo, quindi l'unico dilemma sarebbe quando vado a sostituire in $ t $ l'estremo inferiore cioè $ 0 $ sull'ultimo integrale...ottengo $ ln(0) $ !
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