Dubbio su in integrale indefinito

[Darèios89]

[tex]\int \frac{dx}{1+e^x}[/tex]

Viene risolto tramite sostituzione, e a un certo punto ottengo:ù

[tex]x-\int\frac{de^x}{1+e^x}=x-log(1+e^x)+k[/tex]

Non ho capito il perchè di quel logaritmo, non dovrebbe essere:

[tex]\int\frac{1}{x}=log|x|[/tex]

E quindi se al numeratore dell'integrale ho [tex]de^x[/tex] cosa c'entra dato che quella derivata non fa 1?

[Steven11]

Il modulo l'ha tolto perché la quantità
[tex]$1+e^x$[/tex] è sempre positiva strettamente (perché?), quindi il valore assoluto coincide con se stessa.

Avendo al numeratore $de^x$, significa che $e^x$ è la variabile di integrazione.
In un certo senso, potresti chiamare $e^x$ col nome di $y$ e otterresti

$\int\frac{dy}{1+y}$ cioè $\ln(|y|)+k$ cioè $ln(1+e^x)+k$, avendo ri-sostituito.

[Darèios89]

Ah......bè...ok cercherò di ricordarmene

[fireball1]

E' giusto così... Infatti [tex]\displaystyle\int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\log|f(x)|[/tex] perché [tex]f'(x)dx=df(x)[/tex] (scritto in un modo un po' informale).

Nel tuo caso [tex]f'(x)dx=e^xdx=d(e^x)=d(e^x+1)[/tex].

P.S. Festeggio il mio 7000-esimo post nel forum!