Dubbio su funzioni analitiche/serie di taylor/intorni

[eliotsbowe]

Salve, nello studio delle funzioni analitiche di variabile complessa mi sono sorti i seguenti dubbi imbarazzanti, forse stupidi, ma in questo momento ho bisogno di certezze

- quando una funzione si dice definita intorno ad un punto?
- come faccio a sapere quali punti risiedono fuori da tale intorno se non è specificato il suo raggio?
- come deduco dalla serie di Taylor di una funzione che essa sia definita intorno al punto iniziale della serie?


Grazie.

[dissonance]

"eliotsbowe":- quando una funzione si dice definita intorno ad un punto?

Una funzione $f$ è definita intorno a $z_0$ se esiste un $r>0$ tale che $f$ è definita almeno nel disco di centro $z_0$ e raggio $r$. Poi l'aperto di definizione può essere pure più grande e non necessariamente un disco.

- come faccio a sapere quali punti risiedono fuori da tale intorno se non è specificato il suo raggio?

Non lo sai. Se una funzione è definita nel disco di centro $0$ e raggio $1$, $i$ è fuori dall'insieme di definizione. Mentre se una funzione è definita, diciamo, nel semipiano aperto ${z \in CC\ :\ "Im"(z)> -1}$, $i$ è nell'insieme di definizione. Ma tutte e due sono definite "intorno" a $0$. Come vedi è una dicitura molto generica.

- come deduco dalla serie di Taylor di una funzione che essa sia definita intorno al punto iniziale della serie?

Come funziona la convergenza di una serie di potenze?
Ti rinfresco la memoria: data una serie di potenze $sum a_n(z-z_0)^n$, posto $l=\stackrel{"limsup"}{n \to \infty} (a_n)^(1/n)$ e $R=1/l$ (con la convenzione che $1//0=+\infty, 1//\infty=0$), la serie converge assolutamente nel disco aperto di centro $z_0$ e raggio $R$. I casi limite sono: $R=\infty$, la serie converge assolutamente in tutto $CC$; e $R=0$, la serie converge solo in $z_0$. Come vedi, se escludi il caso $R=0$ la serie converge sempre in un disco aperto di centro $z_0$, quindi "intorno" a $z_0$.
Ti potrebbe venire il dubbio che il caso $R=0$ non si verifica mai. E invece si verifica: dove converge la serie $sum e^(e^n)z^n$?

[gugo82]

"dissonance":Ti potrebbe venire il dubbio che il caso $R=0$ non si verifica mai. E invece si verifica: dove converge la serie [tex]$\sum e^{e^n}\ z^n$[/tex]?

Mammamia, divergenza a gogo...

Ma non bastava [tex]$\sum n!\ z^n$[/tex]?

[eliotsbowe]

chiedo scusa per il ritardo, grazie mille. non avevo pensato di ragionare sulla convergenza della serie di potenze!