Dubbio su funzione analitica
perchè data una funzione analitica che mappa $CC$ sulla retta reale, l'asse complesso deve essere mappato su un punto?
non capisco questo. non potrebbe essere mandato su tutto l'asse reale per esempio?
non capisco questo. non potrebbe essere mandato su tutto l'asse reale per esempio?
Risposte
eeeeeh?
allora ho una funzione $f:CC-> RR$ analitica definita su tutto $CC$ e tale funzione nel testo dell'esercizio è onto cioè è suriettiva.
allora mi si chiede quale può essere l'immagine tramite $f$ dell'asse complesso (cioè l'asse y per intederci)?
e mi si danno 4 posibilità
1) tutto $RR$
2) un solo punto
3) un aperto limitato
4) l'insieme vuoto
chiaro ora?
allora mi si chiede quale può essere l'immagine tramite $f$ dell'asse complesso (cioè l'asse y per intederci)?
e mi si danno 4 posibilità
1) tutto $RR$
2) un solo punto
3) un aperto limitato
4) l'insieme vuoto
chiaro ora?
"miuemia":
allora ho una funzione $f:CC-> RR$ analitica definita su tutto $CC$ e tale funzione nel testo dell'esercizio è onto cioè è suriettiva.
allora mi si chiede quale può essere l'immagine tramite $f$ dell'asse complesso (cioè l'asse y per intederci)?
e mi si danno 4 posibilità
1) tutto $RR$
2) un solo punto
3) un aperto limitato
4) l'insieme vuoto
chiaro ora?
Io ho ragionato in questo modo (tutt'altro che matematico).
L'insieme dei numeri complessi è formato da tutti i numeri reali più l'insieme dei numeri con parte immaginaria diversa da zero. Essendo la funzione suriettiva, il codominio si esaurisce associando ogni ad ogni valore di $RR$(codiminio) il rispettivo numero complesso puramente reale. A questo punto, l'immagine tramite $f$ dell'asse immaginaria (y) sarà l'insieme vuoto, anche perchè il codominio è gia stato "impeganto" dai numeri reali.
Probabilmente avrò detto una fesseria....Correggetemi se sbaglio.
Grazie.
C'è qualcosa che non mi torna: se $f:CC to RR$ allora posto $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$, l'analiticità di $f$ impone (equazioni CR) $(del u)/(del x)=(del v)/(del y)$ e $(del u )/(del y)=-(del v)/(del x)$. Ma essendo il codominio $RR$ dev'essere $v=0$, da cui $(delv)/(delx)=(delv)/(dely)=0$, da cui $(del u)/(del x)=(delu)/(dely)=0$. Forse mi sbaglio, ma credo che $u$ debba ritenersi costante. Come fa allora ad essere onto?
I teoremi "alla Liouville" dicono che (difatto per questo che cito devi solo sfruttare le condizioni CR):
data $f:Omega to CC " olomorfa"$ con $Omega sub CC$ aperto connesso
se $f(Omega)subRR$ allora $f$ costante
il teorema può essere generalizzato: se $f(Omega)$ è contenuto in una retta affine del piano di Gauss...bla bla
sfruttando traslazioni e rotazioni
EDIT: abbiamo risposto contemporaneamente!
data $f:Omega to CC " olomorfa"$ con $Omega sub CC$ aperto connesso
se $f(Omega)subRR$ allora $f$ costante
il teorema può essere generalizzato: se $f(Omega)$ è contenuto in una retta affine del piano di Gauss...bla bla
sfruttando traslazioni e rotazioni
EDIT: abbiamo risposto contemporaneamente!
"Gaal Dornick":
EDIT: abbiamo risposto contemporaneamente!
Potresti scrivere: riporto la dimostrazione... sopra!!

Riporto la dimostrazione..sopra!! 
E' esattamente la dimostrazione a cui alludevo.

E' esattamente la dimostrazione a cui alludevo.