Dubbio su forme differenziali
Salve, ho un dubbio sulle forme differenziali, per spiegarvelo vi farò un esempio.
Ho questa forma differenziale:
\(\displaystyle w(x,y)=(2xln(y)-\frac{y}{x^2+y^2})dx+(\frac{x^2}{y}+\frac{x}{x^2+y^2})dy \)
L'insieme di definizione dovrebbe essere:
\(\displaystyle\{(x,y)\in R^2: y > 0 \} \) ?
In tal caso, posso definire questo insieme come un insieme localmente connesso? O non è connesso e basta?
Inoltre, facendo le derivate incrociate ho visto che la forma differenziale è chiusa.
Ho svolto tutti i calcoli per arrivare ad una primitiva della forma differenziale che mi risulta essere:
\(\displaystyle x^2lny-arctg(x/y)+c \)
L'esercizio mi chiedeva a questo punto di calcolare l'integrale sulla curva \(\displaystyle t->(cos(t),sen(t)) \) per \(\displaystyle t \in [\pi/4, \pi/2] \)
Ho provato a fare in due modi:
ho provato trovando i due estremi \(\displaystyle A(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2) \) e \(\displaystyle B(0,1) \)
quindi ho calcolato \(\displaystyle F(B)-F(A) \) utilizzando la primitiva che avevo calcolato precedentemente, il risultato è stato: \(\displaystyle \pi/4-ln(2)/4 \)
Poi ho provato a calcolare direttamente l'integrale della forma differenziale, sostituendo a x e y rispettivamente cos(t) e sen(t), con t tra \(\displaystyle \pi/4 \) e \(\displaystyle \pi/2 \)
Ma ho ottenuto un risultato diverso: \(\displaystyle -3ln(2)/4 \)
Come mai questa differenza? Non dovrebbe venire lo stesso risultato?
Ho questa forma differenziale:
\(\displaystyle w(x,y)=(2xln(y)-\frac{y}{x^2+y^2})dx+(\frac{x^2}{y}+\frac{x}{x^2+y^2})dy \)
L'insieme di definizione dovrebbe essere:
\(\displaystyle\{(x,y)\in R^2: y > 0 \} \) ?
In tal caso, posso definire questo insieme come un insieme localmente connesso? O non è connesso e basta?
Inoltre, facendo le derivate incrociate ho visto che la forma differenziale è chiusa.
Ho svolto tutti i calcoli per arrivare ad una primitiva della forma differenziale che mi risulta essere:
\(\displaystyle x^2lny-arctg(x/y)+c \)
L'esercizio mi chiedeva a questo punto di calcolare l'integrale sulla curva \(\displaystyle t->(cos(t),sen(t)) \) per \(\displaystyle t \in [\pi/4, \pi/2] \)
Ho provato a fare in due modi:
ho provato trovando i due estremi \(\displaystyle A(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2) \) e \(\displaystyle B(0,1) \)
quindi ho calcolato \(\displaystyle F(B)-F(A) \) utilizzando la primitiva che avevo calcolato precedentemente, il risultato è stato: \(\displaystyle \pi/4-ln(2)/4 \)
Poi ho provato a calcolare direttamente l'integrale della forma differenziale, sostituendo a x e y rispettivamente cos(t) e sen(t), con t tra \(\displaystyle \pi/4 \) e \(\displaystyle \pi/2 \)
Ma ho ottenuto un risultato diverso: \(\displaystyle -3ln(2)/4 \)
Come mai questa differenza? Non dovrebbe venire lo stesso risultato?
Risposte
avrai fatto qualche errore di calcolo, perchè i risultati devono essere uguali.
Quindi i procedimenti sono entrambi corretti? Inoltre io avevo chiesto anche delucidazioni riguardanti l'insieme di definizione...
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