Dubbio su forma differenziale ed integrazione
Ho la seguente forma differenziale.
$\int_\gamma \frac{1}{|x| + |y|}dx + \frac{1}{|x| + |y|}dy$
$\alpha = \frac{1}{|x| + |y|}$
$\gamma = \partialE, E = [-1,1]^2$ Frontiera del quadrato
Dov'è definita la forma differenziale? In R^2 -{(0,0)}
E' esatta nel suo insieme di definizione? Non è esatta in quanto le derivate miste non sono uguali.
$\frac{\partial\alpha}{\partialy} = - \frac{1}{(|x| + |y|)^2}\frac{|y|}{y}$
$\frac{\partial\alpha}{\partialx} = - \frac{1}{(|x| + |y|)^2}\frac{|x|}{x}$
$t in [-1,1]$
$\phi_1 : {x=1, y = t}$
$\phi_2 : {x=t, y = t}$
$\phi_3 : {x=-1, y = t}$
$\phi_4 : {x=t, y = -1}$
$\int_\gamma \omega = \int_(\phi_1) \omega + \int_(\phi_2) \omega + \int_(\phi_3) \omega + \int_(\phi_4) \omega = \int_-1^1 \frac{1}{1+|t|} dt + \int_-1^1 \frac{1}{|t| +1} dt + \int_-1^1 \frac{1}{1+|t|} dt + \int_-1^1 \frac{1}{|t|+1} dt$
Fin qui è corretto?
L'integrale indefinito di $\int \frac{1}{1+|t|} dt = \int \frac{1}{1+sgn(t)t} dt = \frac{1}{sgn(t)} \int \frac{sgn(t)}{1+sgn(t)t} dt = \frac{1}{sgn(t)}*log(sgn(t)t) + c$
Vi trovate? Poi proseguo con il semplice calcolo degli integrali definiti? Anche se c'è qualcosa che non mi torna...
C'è chi l'ha svolto in questo modo:
$\int_\gamma \frac{1}{|x| + |y|}dx + \frac{1}{|x| + |y|}dy$
$\alpha = \frac{1}{|x| + |y|}$
$\gamma = \partialE, E = [-1,1]^2$ Frontiera del quadrato
Dov'è definita la forma differenziale? In R^2 -{(0,0)}
E' esatta nel suo insieme di definizione? Non è esatta in quanto le derivate miste non sono uguali.
$\frac{\partial\alpha}{\partialy} = - \frac{1}{(|x| + |y|)^2}\frac{|y|}{y}$
$\frac{\partial\alpha}{\partialx} = - \frac{1}{(|x| + |y|)^2}\frac{|x|}{x}$
$t in [-1,1]$
$\phi_1 : {x=1, y = t}$
$\phi_2 : {x=t, y = t}$
$\phi_3 : {x=-1, y = t}$
$\phi_4 : {x=t, y = -1}$
$\int_\gamma \omega = \int_(\phi_1) \omega + \int_(\phi_2) \omega + \int_(\phi_3) \omega + \int_(\phi_4) \omega = \int_-1^1 \frac{1}{1+|t|} dt + \int_-1^1 \frac{1}{|t| +1} dt + \int_-1^1 \frac{1}{1+|t|} dt + \int_-1^1 \frac{1}{|t|+1} dt$
Fin qui è corretto?
L'integrale indefinito di $\int \frac{1}{1+|t|} dt = \int \frac{1}{1+sgn(t)t} dt = \frac{1}{sgn(t)} \int \frac{sgn(t)}{1+sgn(t)t} dt = \frac{1}{sgn(t)}*log(sgn(t)t) + c$
Vi trovate? Poi proseguo con il semplice calcolo degli integrali definiti? Anche se c'è qualcosa che non mi torna...
C'è chi l'ha svolto in questo modo:
Risposte
Le curve sono parametrizzate male: ricorda che, se inizi a percorrerle in un senso, quel senso lo devi rispettare. Supponendo che sia sempre $t\n[-1,1]$ le parametrizzazioni corrette sono, nell'ordine
$(1,t),\qquad (-t,1),\qquad (-1,-t),\qquad (t,-1)$.
Sul secondo modo di procedere, non sono d'accordo: non solo sono sbagliate le parametrizzazioni, ma non si tiene conto del fatto che $t$ varia tra valori positivi e negativi, per cui cambia con il valore assoluto (e quindi ogni singolo integrale dovrebbe spezzarsi in due sugli intervalli $[-1,0)$ e $[0,1]$).
$(1,t),\qquad (-t,1),\qquad (-1,-t),\qquad (t,-1)$.
Sul secondo modo di procedere, non sono d'accordo: non solo sono sbagliate le parametrizzazioni, ma non si tiene conto del fatto che $t$ varia tra valori positivi e negativi, per cui cambia con il valore assoluto (e quindi ogni singolo integrale dovrebbe spezzarsi in due sugli intervalli $[-1,0)$ e $[0,1]$).
Non sarei caduto in tale errore se non avessi seguito questo PDF con gli esercizi "svolti".
Il Marcellini-Sbordone è utilissimo, ma non sufficiente per le tracce che mi vengono somministrate e per i dubbi che mi assalgono. Il pdf di cui sto postando alcuni screen, alcune volte può tornare utile, altre non riesco a cogliere il senso logico di alcuni procedimenti. Oppure mi capita spesso di compararlo con metodi di risoluzione del marcellini.
Comunque, di nuovo a noi. L'integrale indefinito quindi risulterebbe corretto a quanto pare. Io l'integrale definito, almeno per la prima curva, l'ho svolto in questa maniera:
$\int_\phi_1 \sum_1^n\omega(\phi_1(t))\phi'_(1,i)(t) dt = \int_0^1 \frac{1}{1+t}dt + \int_-1^0 \frac{1}{1-t}dt = [log(1+t)]_0^1 - [log(1-t)]_-1^0 = log(4) $
Il Marcellini-Sbordone è utilissimo, ma non sufficiente per le tracce che mi vengono somministrate e per i dubbi che mi assalgono. Il pdf di cui sto postando alcuni screen, alcune volte può tornare utile, altre non riesco a cogliere il senso logico di alcuni procedimenti. Oppure mi capita spesso di compararlo con metodi di risoluzione del marcellini.
Comunque, di nuovo a noi. L'integrale indefinito quindi risulterebbe corretto a quanto pare. Io l'integrale definito, almeno per la prima curva, l'ho svolto in questa maniera:
$\int_\phi_1 \sum_1^n\omega(\phi_1(t))\phi'_(1,i)(t) dt = \int_0^1 \frac{1}{1+t}dt + \int_-1^0 \frac{1}{1-t}dt = [log(1+t)]_0^1 - [log(1-t)]_-1^0 = log(4) $
Up.
Sull'integrale indefinito non mi pronuncio: l'integrazione dei valori assoluti è sempre un terribile "pain in the ass"!
Per quanto riguarda l'integrale definito sulla prima curva, è corretto.
Ora termina il tutto usando le parametrizzazioni che ti ho segnalato per le altre curve.
Per quanto riguarda l'integrale definito sulla prima curva, è corretto.
Ora termina il tutto usando le parametrizzazioni che ti ho segnalato per le altre curve.
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