Dubbio su esercizio lunghezza

[Sk_Anonymous]

Ciao, un esercizio mi chiede di calcolare la lunghezza della curva $(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)=0$, $a>0$. Ora, è evidente che $(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)=0$ non è una funzione. E allora, come mi si può chiedere di calcolare la lunghezza di una roba che non è una funzione se la definizione di lunghezza è data per le curve che sono funzioni da $RR->RR^n$
Spero abbiate capito!

[Quinzio]

E' una curva fidati...solo che è in forma implicita.

Prova a passare in coordinate polari poi esplicita il raggio e poi documentati su come calcolare la lunghezza della curva in coordinate polari. Non so come si fa ma è possibile.

$x=r\cos\phi$
$y=r\sin\phi$

$r^4-2a^2r^2(cos(2\phi))=0$

$r^2(r^2-2a^2(cos(2\phi)))=0$

poi http://it.wikipedia.org/wiki/Curva_pian ... lari_piane

[Sk_Anonymous]

Ciao, non ho capito perché quella cosa che mi è stata data è una curva. Una curva è una funzione da R a R^n. Ma nella relazione che mi è stata data se assegno un valore alla x si trovano due valori di y che soddisfano l'equazione e viceversa, quindi non vedo come possa essere una curva.
Grazie.

[gio73]

Non so se ho capito i tuoi dubbi lis, ma...

$x^2+y^2=1$, non è una funzione perchè assegnato un valore a $x$ ne ottengo due per $y$, ad esempio se $x=+1/sqrt2$ allora l'ordinata può essere $y_1=+1/sqrt2$ oppure $y_2=-1/sqrt2$; però è una curva, una circonferenza, e la sua lunghezza è $C=2pir$, nel nostro caso $r=1$ dunque $C=2pi$.

[Sk_Anonymous]

Ciao gio, la seconda parte di quello che dici è corretta in senso intuitivo, perché la definizione di curva non è quella di linea tracciata su un foglio ma di funzione da R a R^n. Secondo questa definizione $x^2+y^2=1$ non è una curva, cioé una funzione da R a R^n, per il motivo che hai detto tu.

[Quinzio]

"lisdap":Ciao, non ho capito perché quella cosa che mi è stata data è una curva. Una curva è una funzione da R a R^n. Ma nella relazione che mi è stata data se assegno un valore alla x si trovano due valori di y che soddisfano l'equazione e viceversa, quindi non vedo come possa essere una curva.
Grazie.

$x^2+y^2=1$

è una curva, no ?

Una curva in senso geometrico, chiaramente non è una funzione, (in coordinate polari lo è).

[Sk_Anonymous]

@Lisdap: in realtà la questione che poni non è proprio banalissima, nel senso che sotto c'è un teorema generale di non difficile ma noiosa dimostrazione (cfr. qui, pag. 112) che afferma che la classe di oggetti identificata da una varietà differenziabile (definita localmente come zeri di funzioni continue) e da una parametrizzazione regolare è la stessa. Detto in parole povere: una varietà può essere descritta in maniera equivalente da una parametrizzazione regolare e/o mediante una forma implicita (zeri di funzione "bella"), come in questo caso. Faccio notare che curve e superfici sono casi particolari di varietà.

[Riccardo Desimini]

"lisdap":Ciao, non ho capito perché quella cosa che mi è stata data è una curva. Una curva è una funzione da R a R^n. Ma nella relazione che mi è stata data se assegno un valore alla x si trovano due valori di y che soddisfano l'equazione e viceversa, quindi non vedo come possa essere una curva.
Grazie.

Occhio.

Il fatto che quella equazione descriva una curva non lo puoi vedere dalla forma implicita, perché, appunto, non è esplicitato il parametro.

Considera ad esempio la circonferenza unitaria. La sua equazione implicita è \( C : x^2 + y^2 = 1 \). Una forma parametrica per tale curva è data da
\[ \cases{x = \cos \theta \\ y = \sin \theta} \]
dove \( \theta \in [0, 2\pi) \). In sostanza rimane definita la funzione da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R}^n \) che volevi, cioè la funzione
\[ C : [0, 2\pi) \rightarrow \mathbb{R}^2 \]
che associa ad ogni valore del parametro una ed una sola coppia ordinata (cioè un punto del piano).

Quindi \( C \) è a tutti gli effetti una curva.