Dubbio su esercizio con confronto asintotico

[giulia.curcio.7]

Salve a tutti , ho un esercizio svolto su una serie in cui bisogna studiare la convergenza assoluta e semplice. La serie è $ sum((-1)^n/(ln n +2/n)) $ .
Per la convergenza assoluta considero la serie $ sum((1)/(ln n +2/n)) $
Nelle soluzioni ho visto che utilizza il confronto asintotico $ 1/(ln(n) + 2) ~ 1/ ln $ per n --> + oo , tramite $ ln n < n $ (per n > 0 ) dice che $ (1/ ln ) > 1/n $ quindi considera la serie $ sum(1/n ) $ che è divergente
La serie non è assolutamente convergente

Volevo sapere perché $ 1/(ln(n) + 2) ~ 1/ ln $ . Qualcuno può gentilmente spiegarmelo ??

[Weierstress]

Ciao. Immagino tu intenda perché $1/(logn+2)~1/logn$. Beh, $lognrarr∞$, quindi puoi trascurare qualunque costante additiva. Per convincertene puoi raccogliere il logaritmo e vedere che $2/log(n)$ è un infinitesimo.

Comunque, in realtà il testo è $1/(logn+2/n)$, che è sempre asintotico a $1/logn$ per un analogo ragionamento...

[giulia.curcio.7]

Ho sbagliato a ricopiare , in effetti intendevo $ 1/(ln x +2/x) ~ 1/ln x $
Quindi per verificarlo dico che $ (2/n)/ (1/ln n) $ è un infinitesimo ?

[Weierstress]

In quel caso ti basta osservare che $2/n$ è un infinitesimo.

P.S. Ricopiando hai sostituito $x$ alla $n$

[giulia.curcio.7]

Eh si sto facendo un pò confusione .. Grazie mille per l'aiuto