Dubbio su esercizi Analisi B

[lishi]

Ciao.

Avevo il seguente dubbio su un esercizio :

Dato una successione di funzioni $(f_{n})_n$ dove $f_n:RR=>RR$ è definita da

$f_n(x) = log(1+ x^2/n) - sin(x)$

1) Studiare la convergenza puntuale, ovvero determinare il più grande insieme $I$ in cui la successione converge puntualmente, specificando la funzione limite.

2) calcolare il limite

$lim_(n -> oo) int_0^pi f_n(x)dx$

mi viene naturale.

1) La funzione converge puntualmente in $f(x) = - sin(x)$ $AAx in RR$$
2) guardo la convergenza uniforme.

$M_n = Sup (|ln(1+ x^2/n) - sin(x) + sin x| )$

Derivando calcolando bla bla

$M_n = 0$ quindi la funzione converge uniformemente in $ f(x) AA x in RR $

Da cui per il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale

$lim_(n -> oo) int_0^pi f_n(x)dx = int_0^pi f(x) dx = int_0^pi -sin(x) dx = cos(pi) - cos(0) = 0$


Teoricamente mi sembra valido ma non mi convice, mi sembra troppo facile

E nel caso la funzione non convergesse uniformemente calcolo integrale $lim_(n -> oo) int_0^pi f_n(x)dx$ in x?

Grazie.

Complimenti per la scelta di MathML

[zorn1]

Se non sei sicura prova a calcolarlo esplicitamente l'integrale senza usare il teorema di passaggio al limite... ma io credo sia giusto comunque

[rubik2]

credo che la successione di funzioni non converga uniformemente su tutto $RR$: c'è da fare il $Sup|ln(1+x^2/n)|$ su $RR$ che è $+oo$ per ogni n;
il resto dovrebbe andare bene perchè comunque c'è convergenza uniforme su intervalli del tipo $[a,b]$ con $a,binRR,a

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