Dubbio su equazioni differenziali
ciao a tutti!sono in panne con le equazioni differenziali del secondo ordine non omogenee.Quando le equazioni non omogenee sono del tipo $Ax^2+Bx+C$ ,oppure $e^Ax$ o ancora funzioni trigonometriche del tipo $sinx$ o $cosx$ , non ho problemi.
Quando invece l'equazione è del tipo $y''-2y'+y=e^x*sin^2x$ non riesco a capire come devo procedere;come al solito si calcola la omogenea associata,che pone due radici reali coincidenti $\lambda$=1.Quindi l'integrale generale sarà cercato nella forma $y(x;C1,C2)=C1*e^x+C2*x*e^x+Yp(x)$.Ora:Yp(x) come lo trovo sapendo essere l'equazione non omogenea $e^x*sin^sx$?...non ho proprio idee e sul libro mio di analisi il sistema è incasinato al massimo.
Quando invece l'equazione è del tipo $y''-2y'+y=e^x*sin^2x$ non riesco a capire come devo procedere;come al solito si calcola la omogenea associata,che pone due radici reali coincidenti $\lambda$=1.Quindi l'integrale generale sarà cercato nella forma $y(x;C1,C2)=C1*e^x+C2*x*e^x+Yp(x)$.Ora:Yp(x) come lo trovo sapendo essere l'equazione non omogenea $e^x*sin^sx$?...non ho proprio idee e sul libro mio di analisi il sistema è incasinato al massimo.
Risposte
Ciao, e benvenuto nel forum.
[mod="Fioravante Patrone"]Ho tolto il "bold" dal tuo post.[/mod]
Quanto a come fare, il metodo generale è la cosiddetta "variazione delle costanti arbitrarie".
Se non ti trovi col tuo libro, guarda su un altro.
[mod="Fioravante Patrone"]Ho tolto il "bold" dal tuo post.[/mod]
Quanto a come fare, il metodo generale è la cosiddetta "variazione delle costanti arbitrarie".
Se non ti trovi col tuo libro, guarda su un altro.
Non so se sia lo stesso metodo consigliato da Fioravante (propabilmente no), comunque la formula più generale è:
$v(x) = \int_{0}^{x} g(x - t)b(t)dt$
dove g è detta la risposta impulsiva, e b è la tua parte non omogenea da risolvere.
La risposta impulsiva è definita come la soluzione di:
${\(y'' - 2y' + y = 0), (y(0) = 0, y'(0) = 1):}$
Tu hai già trovato la soluzione generale, quindi prima ci sostituisci $y(0) = 0$, poi la derivi e ci sostituisci $y'(o) = 1$. Troverai un sistemino per le costanti C1, C2.. le sostituisci nella soluzione generale, ed infinine risolvi quell' integrale..
Ci sono un bel numero di conti di fare, ma prima o poi arriverai alla soluzione..
$v(x) = \int_{0}^{x} g(x - t)b(t)dt$
dove g è detta la risposta impulsiva, e b è la tua parte non omogenea da risolvere.
La risposta impulsiva è definita come la soluzione di:
${\(y'' - 2y' + y = 0), (y(0) = 0, y'(0) = 1):}$
Tu hai già trovato la soluzione generale, quindi prima ci sostituisci $y(0) = 0$, poi la derivi e ci sostituisci $y'(o) = 1$. Troverai un sistemino per le costanti C1, C2.. le sostituisci nella soluzione generale, ed infinine risolvi quell' integrale..
Ci sono un bel numero di conti di fare, ma prima o poi arriverai alla soluzione..
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