Dubbio su equazione differenziale molto semplice
Ciao,
sto seguendo un corso sulla progettazione di macchine dinamiche, il mio prof ha fatto degli esercizi introduttivi, giusto per rinfrescare i vecchi argomenti.
Risolvendo un problema, si arrivava a questa equazione differenziale:
$mx'' + (k_1+k_2)x = mg + k_2h$
a questo punto lui conclude che si vede subito che la soluzione è $x(t)=Xcos(wt)$ e che X è un'incognita calcolabile a partire dalle condizione iniziale assegnata, ovvero quella che impone che in t=0 la massa è nella posizione $-x_(eq)$.
Dalle ipotesi, $x_(eq)= (mg + k_2 h)/(k1+k2)$ e quindi conclude che il risultato è:
$x(t) = (mg + k_2 h)/(k1+k2) * cos(wt)$
Ora io non capisco come faccia, una volta scritta l'equazione a concludere subito che la soluzione è nella forma $x(t)=Xcos(wt)$ e poi usando le condizioni iniziali arrivi al risultato.
Da quello che ricordo di analisi, bisogna considerare prima l'equazione omogena associata, trovare le soluzioni e sommarle alle soluzioni particolari.
Ricordo anche che le soluzioni erano nella forma $e^(_lambda x)$ ma non capisco, in ogni caso, come abbia fatto lui...
Mi date una mano voi?
Grazie!
sto seguendo un corso sulla progettazione di macchine dinamiche, il mio prof ha fatto degli esercizi introduttivi, giusto per rinfrescare i vecchi argomenti.
Risolvendo un problema, si arrivava a questa equazione differenziale:
$mx'' + (k_1+k_2)x = mg + k_2h$
a questo punto lui conclude che si vede subito che la soluzione è $x(t)=Xcos(wt)$ e che X è un'incognita calcolabile a partire dalle condizione iniziale assegnata, ovvero quella che impone che in t=0 la massa è nella posizione $-x_(eq)$.
Dalle ipotesi, $x_(eq)= (mg + k_2 h)/(k1+k2)$ e quindi conclude che il risultato è:
$x(t) = (mg + k_2 h)/(k1+k2) * cos(wt)$
Ora io non capisco come faccia, una volta scritta l'equazione a concludere subito che la soluzione è nella forma $x(t)=Xcos(wt)$ e poi usando le condizioni iniziali arrivi al risultato.
Da quello che ricordo di analisi, bisogna considerare prima l'equazione omogena associata, trovare le soluzioni e sommarle alle soluzioni particolari.
Ricordo anche che le soluzioni erano nella forma $e^(_lambda x)$ ma non capisco, in ogni caso, come abbia fatto lui...
Mi date una mano voi?
Grazie!
Risposte
Sono cose che, con un po' d'esperienza, fai ad occhio... 
Infatti il polinomio caratteristico associato all'equazione ha radici immaginarie pure (del tipo $\pm \omega i$), quindi l'omogenea ha soluzioni del tipo $c_1sin(\omega t)+c_2cos(\omega t)$ oppure, come amano scrivere gli ingegneri, $A*cos(\omega t+phi)$ ove $c_1,c_2,A,phi \in RR$ sono costanti che si determinano a partire dalle due condizioni iniziali o agli estremi del problema.
Infatti il polinomio caratteristico associato all'equazione ha radici immaginarie pure (del tipo $\pm \omega i$), quindi l'omogenea ha soluzioni del tipo $c_1sin(\omega t)+c_2cos(\omega t)$ oppure, come amano scrivere gli ingegneri, $A*cos(\omega t+phi)$ ove $c_1,c_2,A,phi \in RR$ sono costanti che si determinano a partire dalle due condizioni iniziali o agli estremi del problema.
ecco, perchè io provando a risolverla, avevo visto che l'equazione omogenea aveva radici nel campo complesso e che quindi il risultato doveva essere nella forma:
$x(t) = e^(\alpha x) (c_1cos(\alpha x) +c_2sin(\alpha x))$
quindi mi aspettavo di trovare due soluzioni, e non una sola, come invece proponeva lui.
Però non ho capito, perchè si scrive direttamente il coseno? non bisogna distinguere tra parte reale ed immaginaria?
e poi la condizione iniziale era una sola...
$x(t) = e^(\alpha x) (c_1cos(\alpha x) +c_2sin(\alpha x))$
quindi mi aspettavo di trovare due soluzioni, e non una sola, come invece proponeva lui.
Però non ho capito, perchè si scrive direttamente il coseno? non bisogna distinguere tra parte reale ed immaginaria?
e poi la condizione iniziale era una sola...
In un problema del second'ordine la condizione non può essere una sola.
Guarda bene: il tuo prof. non ha messo la "fase iniziale" $phi$ nella soluzione (infatti c'è solo l'ampiezza $X$ come parametro in $X*cos(\omega t)$), perciò avrà imposto che $x(0)=x_(eq)$.
Guarda bene: il tuo prof. non ha messo la "fase iniziale" $phi$ nella soluzione (infatti c'è solo l'ampiezza $X$ come parametro in $X*cos(\omega t)$), perciò avrà imposto che $x(0)=x_(eq)$.
si, infatti ha posto come condizione iniziale $x(0) = x_(eq)$
ma questa è una sola, quale sarebbe l'altra?
Cioè il non aver considerato la fase cosa comporta?
Inoltre, scrivendo il coseno non si considera esclusivamente la parte reale?
Scusami probabilmente sono domande banali... ma ho studiato queste cose in analisi II tre anni fa...
ma questa è una sola, quale sarebbe l'altra?
Cioè il non aver considerato la fase cosa comporta?
Inoltre, scrivendo il coseno non si considera esclusivamente la parte reale?
Scusami probabilmente sono domande banali... ma ho studiato queste cose in analisi II tre anni fa...
Allora, sfruttando un po' le formule di trigonometria si prova che per ogni coppia di costanti $c_1,c_2 \in RR$ esistono e sono uniche $A_1,phi_1,A_2,phi_2 \in RR$ tali che $c_1*cos\omega t+c_2*sin\omega t=A_1*cos(\omega t+phi_1)=A_2*sin(\omega t+phi_2)$.
Per le condizioni iniziali devi vedere un po' tu. Supponendo di voler scrivere la soluzione come $A_1*cos(\omega t+phi_1)$, la condizione $x(0)=x_(eq)$ dà:
(*) $\quad x_(eq)=A_1*cos(phi_1)$
in cui figurano entrambi i parametri "ampiezza" e "fase iniziale"; pertanto c'è bisogno anche di qualcos'altro.
Visto che $x'(t)=-A_1*\omega*sin(\omega t+phi_1)$, il prof. avrà imposto implicitamente anche la "condizione di quiete" per $t=0$ ossia $x'(0)=0$: infatti questa implica
(**) $\quad A_1*omega*sin(phi)=0$
e, poichè dalla prima condizione segue $A_1!=0$ e dall'equazione viene $\omega!=0$, le uniche soluzioni possibili di (**) sono $phi_1=kpi$ con $k\in ZZ$.
Sostituendo quanto trovato in (*) si ottiene:
$x_(eq)=A_1 \quad$ oppure $\quad x_(eq)=-A_1$
a seconda che $k$ sia pari o dispari.
Visto che l'ampiezza la vogliamo positiva, è chiaro che $k$ dev'essere pari, ossia $k=2h$ con $h \in ZZ$, quindi $phi_1=2hpi$.
Ma la funzione coseno è periodica di periodo $2pi$, quindi si può scegliere un qualunque numero del tipo $2hpi$ senza alterare la soluzione: in particolare si può prendere $h=0$ ed ottenere:
$x(t)=x_(eq)*cos \omega t$
come si voleva.
Per le condizioni iniziali devi vedere un po' tu. Supponendo di voler scrivere la soluzione come $A_1*cos(\omega t+phi_1)$, la condizione $x(0)=x_(eq)$ dà:
(*) $\quad x_(eq)=A_1*cos(phi_1)$
in cui figurano entrambi i parametri "ampiezza" e "fase iniziale"; pertanto c'è bisogno anche di qualcos'altro.
Visto che $x'(t)=-A_1*\omega*sin(\omega t+phi_1)$, il prof. avrà imposto implicitamente anche la "condizione di quiete" per $t=0$ ossia $x'(0)=0$: infatti questa implica
(**) $\quad A_1*omega*sin(phi)=0$
e, poichè dalla prima condizione segue $A_1!=0$ e dall'equazione viene $\omega!=0$, le uniche soluzioni possibili di (**) sono $phi_1=kpi$ con $k\in ZZ$.
Sostituendo quanto trovato in (*) si ottiene:
$x_(eq)=A_1 \quad$ oppure $\quad x_(eq)=-A_1$
a seconda che $k$ sia pari o dispari.
Visto che l'ampiezza la vogliamo positiva, è chiaro che $k$ dev'essere pari, ossia $k=2h$ con $h \in ZZ$, quindi $phi_1=2hpi$.
Ma la funzione coseno è periodica di periodo $2pi$, quindi si può scegliere un qualunque numero del tipo $2hpi$ senza alterare la soluzione: in particolare si può prendere $h=0$ ed ottenere:
$x(t)=x_(eq)*cos \omega t$
come si voleva.
Ottimo! Ti ringrazio!
La spiegazione è stata semplice ed immediata! e soprattutto l'ho capita!
Grazie ancora!
La spiegazione è stata semplice ed immediata! e soprattutto l'ho capita!
Grazie ancora!
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