Dubbio su equazione complessa

[nitidoz]

mi trovo a dover risolvere la seguente eq. complessa:
\(\displaystyle z\left| z \right| - 2\overline z - i = 0 \)

proseguendo per la forma algebrica i calcoli diventano troppo esosi e dunque trasformo in forma trigonometrica sapendo che \(\displaystyle \left| z \right| = \rho \) è cioè il suo modulo, diventa:

\(\displaystyle {\rho ^2}\left( {\cos \,\theta + sen\,\theta } \right) - 2\rho \left( {\cos \left( { - \theta } \right)\, + i\,sen\,\left( { - \theta } \right)} \right) + i\,sen\left( {\frac{{ - \pi }}{2}} \right) = 0 \)

(questa è la parte dove sono insicuro) essendo \(\displaystyle \cos \,\theta = \cos \left( { - \theta } \right) \) diventa:

\(\displaystyle \left( {{\rho ^2} - 2\rho } \right)\,\cos \,\theta + i\left( {{\rho ^2}sen\,\theta + 2\rho \,sen\,\left( { - \theta } \right) + sen\frac{{ - \pi }}{2}} \right) = 0 \)
adesso come posso semplificare ulteriormente per poter ricavare le soluzioni?

[Palliit]

Ciao. A me non sembra che la via algebrica sia così ostica: posto $z=x+iy$, hai:

$(x+iy)sqrt(x^2+y^2)-2(x-iy)=i$, dove - separando parte reale e parte immaginaria dell'equazione - ottieni:

[tex]\left\{\begin{matrix}
x\sqrt{x^2+y^2}-2x=0\\
\\
y\sqrt{x^2+y^2}+2y=1\end{matrix}\right.[/tex]__$rightarrow$__[tex]\left\{\begin{matrix}
x=0 \vee x^2+y^2=4\\
\\
y\sqrt{x^2+y^2}+2y=1\end{matrix}\right.[/tex]__;

sostituisci nella seconda equazione i due possibili esiti della prima ed hai praticamente finito.

[nitidoz]

ok ok.... grazie!