Dubbio su disuguaglianza tra successioni
Salve a tutti!
Mi chiedevo se potevo fare questo ragionamento:
Siano $a_{n}$e$b_{n}$ 2 successioni $\forall n\in\mathbb{N}$
risulti$a_{n},b_{n}\geq0.$
Supponiamo che si voglia dimostrare che $a_{n}\geq b_{n}\forall n\in\mathbb{N}.\mathbb{}$
Supponiamo che procedendo per induzione su $n$, si abbia la base
e l'ipotesi induttiva.
Allora posto $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=c_{n}$ e $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=d_{n}$
risulta $a_{n+1}=a_{n}c_{n}$ e $b_{n+1}=b_{n}d_{n}$.
Quindi $a_{n+1}\geq b_{n+1}\Leftrightarrow$$a_{n}c_{n}\geq b_{n}d_{n}$.
Allora se dimostro che $c_{n}\geq d_{n}\Rightarrow a_{n+1}\geq b_{n+1}$,
perchè $a_{n}\geq b_{n}$ per HP induttiva.
Cioè l'idea di base è quella che in certi casi sia più facile ragionare sui quozienti che sulle successioni esplicite.
Secondo voi su puo' fare?
Grazie!
Mi chiedevo se potevo fare questo ragionamento:
Siano $a_{n}$e$b_{n}$ 2 successioni $\forall n\in\mathbb{N}$
risulti$a_{n},b_{n}\geq0.$
Supponiamo che si voglia dimostrare che $a_{n}\geq b_{n}\forall n\in\mathbb{N}.\mathbb{}$
Supponiamo che procedendo per induzione su $n$, si abbia la base
e l'ipotesi induttiva.
Allora posto $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=c_{n}$ e $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=d_{n}$
risulta $a_{n+1}=a_{n}c_{n}$ e $b_{n+1}=b_{n}d_{n}$.
Quindi $a_{n+1}\geq b_{n+1}\Leftrightarrow$$a_{n}c_{n}\geq b_{n}d_{n}$.
Allora se dimostro che $c_{n}\geq d_{n}\Rightarrow a_{n+1}\geq b_{n+1}$,
perchè $a_{n}\geq b_{n}$ per HP induttiva.
Cioè l'idea di base è quella che in certi casi sia più facile ragionare sui quozienti che sulle successioni esplicite.
Secondo voi su puo' fare?
Grazie!
Risposte
Mi pare che vada bene. Tu in pratica dici:
al nastro di partenza $a_0<=b_0$, ovvero $a_0$ parte svantaggiata. Inoltre ad ogni passo si incrementa meno di $b_n$ (nel senso che $a_{n+1}/a_{n}<=b_{n+1}/b_{n}$). Pertanto non riuscirà mai a colmare il distacco.
Occhio all'ipotesi $a_n, b_n>=0$, senza quella dire che un rapporto è più grande di un altro potrebbe non significare nulla (esempio ovvio: $"un miliardo"//(-1)$ è più piccolo di $"un miliardesimo"//(+1)$).
al nastro di partenza $a_0<=b_0$, ovvero $a_0$ parte svantaggiata. Inoltre ad ogni passo si incrementa meno di $b_n$ (nel senso che $a_{n+1}/a_{n}<=b_{n+1}/b_{n}$). Pertanto non riuscirà mai a colmare il distacco.
Occhio all'ipotesi $a_n, b_n>=0$, senza quella dire che un rapporto è più grande di un altro potrebbe non significare nulla (esempio ovvio: $"un miliardo"//(-1)$ è più piccolo di $"un miliardesimo"//(+1)$).
Si, in realtà la formulazione finale che avevo in mente era:
PROP: Siano Siano $a_{n}$e$b_{n}$ 2 successioni tali che$\forall n\in\mathbb{N}$
risulti $a_{n},b_{n}\geq0.$
Se $a_{0}\geq b_{0}$ e $\forall n\in\mathbb{N}:\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq\frac{b_{n+1}}{b_{n}}$
allora $\Rightarrow a_{n}\geq b_{n}\forall n\in\mathbb{N}.$
L'ho scritta in una forma "da esercizio" un po' meno formale.
Grazie per il controesempio sul segno
PROP: Siano Siano $a_{n}$e$b_{n}$ 2 successioni tali che$\forall n\in\mathbb{N}$
risulti $a_{n},b_{n}\geq0.$
Se $a_{0}\geq b_{0}$ e $\forall n\in\mathbb{N}:\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq\frac{b_{n+1}}{b_{n}}$
allora $\Rightarrow a_{n}\geq b_{n}\forall n\in\mathbb{N}.$
L'ho scritta in una forma "da esercizio" un po' meno formale.
Grazie per il controesempio sul segno
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