Dubbio su disequazione goniometrica

[Antonio_80]

Ho la seguente formula che riguarda il potenziale:

$U(theta) = mgl(cos theta - 2alpha cos^2 theta) $

Si calcola la derivata prima per la condizione di equilibrio e si ottengono le soluzioni che indicano i punti di equilibrio.
Si calcola poi la derivata seconda e si sostituiscono le soluzioni trovate dalla derivata prima, nella derivata seconda, e si ha che se il segno della derivata seconda è $>0$ si ha stabilità, se $<0$ si ha instabilità e se è $=0$ si ha equilibrio indifferente.

A me viene chiesto di determinare la configurazione di equilibrio del sistema e studiare la stabilità, al variare di $alpha>0$.

Dalla derivata prima seguente:
$dot(U) (theta) = mgl(4alpha cos theta -1)sin theta$

ho ottenuto le seguenti soluzioni:

$sen theta = 0$ per $theta=0$ e $theta=pi$
$cos theta=1/(4alpha) -> theta= arccos(1/(4alpha))$

Poi calcolo la derivata seconda del potenziale ed ottengo:

$ddot(U)(theta) = mgl(8alpha cos^2 theta - 4alpha - cos theta)$

Ecco cosa si deve fare:

Ha preso le soluzioni dalla derivata prima e le ha utilizzate nella derivata seconda.
Quello che non sto riuscendo a ricordare chiaramente è proprio le considerazioni che lui fa da quando scrive:

Nelle posizioni di equilibrio si ha:......
...negativa se $alpha <1/4$
...$AA alpha>0$ per $alpha>=1/4$
...negativa se $alpha>1/4$

ecc. fino alla fine.

scrive il sistema e fa le sostituzioni, potete per favore aiutarmi a ricordare come si risolvono queste disequazioni e quindi quello che fa il testo

IO ho fatto quanto segue:


Quelle evidenziate sono le soluzioni, mi spiego:

- Sappiamo che si ha la funzione $sen$ che da $theta = 0$ e $theta = pi$, quindi le due soluzione dell'ordinata sono da evidenziare e infatti ho evidenziato $theta=0$ e $theta= pi$.

- Poi per le ascisse si ha che la prima disequazione è data da $4alpha-1>0-> alpha>1/4$, ed in effetti è la linea continua che va verso destra da $alpha>1/4$.

-Abbiamo la terza disequazione che è positiva solo se $(4 alpha+1)>0->alpha> -1/4$ e per questo si impone che $AA alpha>0$ e quindi vanno bene tutte le soluzione da $alpha>0$ a tutta l'ascissa positiva.

-Alla fine si ha l'ultima disequazione che è data da $0<= alpha <= 1/4$.

Adesso si mette a sistema tutto e non riesco a capire bene la conclusione di dove deve essere positivo o negativo tutto il sistema

Il testo dice che deve essere positivo per $0<= alpha <= 1/4$ e poi dice che deve essere positivo per $alpha >1/4$ ed in effetti è da li che si ha la stabilità!

Ma come si può spiegare quello che dice il testo

[@melia]

Per $0<=alpha<1/4$ l'arcocoseno non è definito e quindi gli unici zeri di $dot(U) (theta) = mgl(4alpha cos theta -1)sin theta$ sono $0 $ e $pi$ e il fattore tra parentesi è sempre negativo, per $alpha<1/4$ il fattore si annulla, annullando di fatto tutta $dot(U)(theta) $ e rendendo $U(theta) $ una costante.
Per $alpha>1/4$, oltre ai due zeri precedenti ne hai altri due, $+-arccos(1/(4alpha))$, che sono quelli che annullano il fattore tra parentesi.

Il segno della derivata prima, o in alternativa i suoi zeri e poi il segno che questi danno alla derivata seconda, vanno studiati separatamente nei due casi, quello in cui il fattore tra parentesi cambia di segno e quello in cui rimane con segno costante. Dopo, però, devi riassumere il tutto.