Dubbio su di una proposizione
Salve,
Apro questo topic per cercare di risolvere un dubbio sulla dimostrazione di una proposizione proposto dal libro che sto utilizzando (Elementi di Matematica I - A. Alvino, G. Trombetti).
La proposizione è la seguente:
Un sottoinsieme C di R è chiuso e limitato se e soltanto se ogni successione di elementi di C ammette una sottosuccessione convergente ad un elemento di C
La Dimostrazione proposta:
=>) Sia C chiuso e limitato; se {An} è una successione di elementi di C da essa, per la prop. 9 (Teorema di Bolzano-Weierstrass) è possibile estrarre una successione convergente il cui limite, per la prop. 7 (Un sottoinsieme C di R è chiuso se e solo se ogni successione di elementi di C ha per limite un elemento di C), appartiene a C.
Fin qui nulla di strano, d'altra parte mi pare che l'ipotesi per cui C sia limitato non sia necessaria per arrivare a tale risultato, in quanto se C è chiuso, per la prop.7 citata sopra, si ha che ogni successione di elementi di C converge ad un elemento di C, e pertanto ogni sottosuccessione di queste successioni converge allo stesso elemento. (D'altronde penso che il testo della proposizione voglia intendere "almeno una sottosuccessione..." e non "una ed una sola"). Quindi immagino che la nozione di limitatezza sia necessaria soltanto per il viceversa.
Ora iniziano i problemi
<=) Viceversa, supponiamo che da ogni successione di elementi di C è possibile estrarre una successione convergente il cui limite è in C. Allora per le prop. 7, sù citata, e 8 (Ogni sottosuccessione di una successione regolare è regolare e risulta inoltre che i loro limiti coincidano) C è chiuso.
Il mio dubbio sta proprio nella sezione appena riportata della dimostrazione, poiché:
Noi sappiamo che da ogni successione di elementi di C è possibile estrarre una successione convergente il cui limite è in C. Sulla base di questo il libro utilizza la prop.7 per dimostrare che C è chiuso, per farlo però abbiamo bisogno di sapere che ogni successione di elementi di C ha per limite un elemento di C, ed allora viene chiamata in discussione la proposizione 8 che dovrebbe risolvere la situazione. D'altronde la proposizione 8 ci dice che se An è una successione regolare, allora ogni sua sottosuccessione e regolare ed il limite di quest'ultima coincide con quello di An e non che, se una sottosuccessione di An converge ad un valore c, allora anche An converge a tale valore. Anzi, sappiamo bene che una successione An non convergente, ma limitata, ammette almeno una sottosuccessione convergente.
Ringrazio anticipatamente chiunque mi saprà dire, se ce ne saranno
, dov'è che sbaglio e perché la prop.7 può essere di fatto utilizzata "al contrario".
Apro questo topic per cercare di risolvere un dubbio sulla dimostrazione di una proposizione proposto dal libro che sto utilizzando (Elementi di Matematica I - A. Alvino, G. Trombetti).
La proposizione è la seguente:
Un sottoinsieme C di R è chiuso e limitato se e soltanto se ogni successione di elementi di C ammette una sottosuccessione convergente ad un elemento di C
La Dimostrazione proposta:
=>) Sia C chiuso e limitato; se {An} è una successione di elementi di C da essa, per la prop. 9 (Teorema di Bolzano-Weierstrass) è possibile estrarre una successione convergente il cui limite, per la prop. 7 (Un sottoinsieme C di R è chiuso se e solo se ogni successione di elementi di C ha per limite un elemento di C), appartiene a C.
Fin qui nulla di strano, d'altra parte mi pare che l'ipotesi per cui C sia limitato non sia necessaria per arrivare a tale risultato, in quanto se C è chiuso, per la prop.7 citata sopra, si ha che ogni successione di elementi di C converge ad un elemento di C, e pertanto ogni sottosuccessione di queste successioni converge allo stesso elemento. (D'altronde penso che il testo della proposizione voglia intendere "almeno una sottosuccessione..." e non "una ed una sola"). Quindi immagino che la nozione di limitatezza sia necessaria soltanto per il viceversa.
Ora iniziano i problemi
<=) Viceversa, supponiamo che da ogni successione di elementi di C è possibile estrarre una successione convergente il cui limite è in C. Allora per le prop. 7, sù citata, e 8 (Ogni sottosuccessione di una successione regolare è regolare e risulta inoltre che i loro limiti coincidano) C è chiuso.
Il mio dubbio sta proprio nella sezione appena riportata della dimostrazione, poiché:
Noi sappiamo che da ogni successione di elementi di C è possibile estrarre una successione convergente il cui limite è in C. Sulla base di questo il libro utilizza la prop.7 per dimostrare che C è chiuso, per farlo però abbiamo bisogno di sapere che ogni successione di elementi di C ha per limite un elemento di C, ed allora viene chiamata in discussione la proposizione 8 che dovrebbe risolvere la situazione. D'altronde la proposizione 8 ci dice che se An è una successione regolare, allora ogni sua sottosuccessione e regolare ed il limite di quest'ultima coincide con quello di An e non che, se una sottosuccessione di An converge ad un valore c, allora anche An converge a tale valore. Anzi, sappiamo bene che una successione An non convergente, ma limitata, ammette almeno una sottosuccessione convergente.
Ringrazio anticipatamente chiunque mi saprà dire, se ce ne saranno
, dov'è che sbaglio e perché la prop.7 può essere di fatto utilizzata "al contrario".
Risposte
"Nota":
Salve,
Apro questo topic per cercare di risolvere un dubbio sulla dimostrazione di una proposizione proposto dal libro che sto utilizzando (Elementi di Matematica I - A. Alvino, G. Trombetti).
La proposizione è la seguente:
Un sottoinsieme C di R è chiuso e limitato se e soltanto se ogni successione di elementi di C ammette una sottosuccessione convergente ad un elemento di C
La Dimostrazione proposta:
=>) Sia C chiuso e limitato; se {An} è una successione di elementi di C da essa, per la prop. 9 (Teorema di Bolzano-Weierstrass) è possibile estrarre una successione convergente il cui limite, per la prop. 7 (Un sottoinsieme C di R è chiuso se e solo se ogni successione di elementi di C ha per limite un elemento di C), appartiene a C.
Fin qui nulla di strano, d'altra parte mi pare che l'ipotesi per cui C sia limitato non sia necessaria per arrivare a tale risultato[...]
$RR$ è chiuso ma non limitato... Cosa succede se provi ad estrarre successioni convergenti da quella di termine generale $a_n := n$.
[...] in quanto se C è chiuso, per la prop.7 citata sopra, si ha che ogni successione di elementi di C converge ad un elemento di C [...]
$[0,1]$ è chiuso (e pure limitato)... Mi provi che la successione di termine generale $a_n := (1+(-1)^n)/2$ è convergente in $[0,1]$?
[...] e pertanto ogni sottosuccessione di queste successioni converge allo stesso elemento. (D'altronde penso che il testo della proposizione voglia intendere "almeno una sottosuccessione..." e non "una ed una sola"). Quindi immagino che la nozione di limitatezza sia necessaria soltanto per il viceversa.
Ma neanche lontanamente... La limitatezza è fondamentale in entrambi i casi (se non ce l'hai Bolzano-Weierstrass lo applichi col cavolo).
Ora iniziano i problemi
<=) Viceversa, supponiamo che da ogni successione di elementi di C è possibile estrarre una successione convergente il cui limite è in C. Allora per le prop. 7, sù citata, e 8 (Ogni sottosuccessione di una successione regolare è regolare e risulta inoltre che i loro limiti coincidano) C è chiuso.
Il mio dubbio sta proprio nella sezione appena riportata della dimostrazione, poiché:
Noi sappiamo che da ogni successione di elementi di C è possibile estrarre una successione convergente il cui limite è in C. Sulla base di questo il libro utilizza la prop.7 per dimostrare che C è chiuso, per farlo però abbiamo bisogno di sapere che ogni successione di elementi di C ha per limite un elemento di C, ed allora viene chiamata in discussione la proposizione 8 che dovrebbe risolvere la situazione. D'altronde la proposizione 8 ci dice che se An è una successione regolare, allora ogni sua sottosuccessione e regolare ed il limite di quest'ultima coincide con quello di An e non che, se una sottosuccessione di An converge ad un valore c, allora anche An converge a tale valore. Anzi, sappiamo bene che una successione An non convergente, ma limitata, ammette almeno una sottosuccessione convergente.
Per provare che $C$ è (sequenzialmente) chiuso devi far vedere che il limite di ogni successione convergente $(a_n) subseteq C$ è un elemento di $C$.
Quindi vedi da te che la convergenza della successione "madre" $(a_n)$ ce l'hai per ipotesi ed il problema non si pone.
Prima di tutto, grazie per la risposta.
Ricordavo male il teorema. Mi sono reso conto solo adesso di quanto fosse assurda la mia affermazione. Ogni sottosuccessione della successione che hai proposto tu diverge positivamente (oppure mi sto sbagliando anche qui?).
Ecco... appunto.
Ancora non riesco a capire questa parte della dimostrazione. Ti dispiacerebbe aggiungere qualche dettaglio? Perché la successione "madre" converge per ipotesi?
"gugo82":
$RR$ è chiuso ma non limitato... Cosa succede se provi ad estrarre successioni convergenti da quella di termine generale $a_n := n$.
Ricordavo male il teorema. Mi sono reso conto solo adesso di quanto fosse assurda la mia affermazione. Ogni sottosuccessione della successione che hai proposto tu diverge positivamente (oppure mi sto sbagliando anche qui?).
"gugo82":
$[0,1]$ è chiuso (e pure limitato)... Mi provi che la successione di termine generale $a_n := (1+(-1)^n)/2$ è convergente in $[0,1]$?
Ecco... appunto.
"gugo82":
Per provare che $C$ è (sequenzialmente) chiuso devi far vedere che il limite di ogni successione convergente $(a_n) subseteq C$ è un elemento di $C$.
Quindi vedi da te che la convergenza della successione "madre" $(a_n)$ ce l'hai per ipotesi ed il problema non si pone.
Ancora non riesco a capire questa parte della dimostrazione. Ti dispiacerebbe aggiungere qualche dettaglio? Perché la successione "madre" converge per ipotesi?
Qual è la definizione di insieme chiuso che usi?
La risposta è lì, non servono dettagli.
La risposta è lì, non servono dettagli.
"gugo82":
Qual è la definizione di insieme chiuso che usi?
La risposta è lì, non servono dettagli.
Un sottoinsieme C di R è chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
Bene.
Ed un punto è di accumulazione per un insieme quando...
E com'è legata la nozione di punto di accumulazione alle successioni convergenti?
Ed un punto è di accumulazione per un insieme quando...
E com'è legata la nozione di punto di accumulazione alle successioni convergenti?
"gugo82":
Bene.
Ed un punto è di accumulazione per un insieme quando...
E com'è legata la nozione di punto di accumulazione alle successioni convergenti?
Un punto x è di accumulazione per un insieme X quando per ogni intorno di x si ha che l'intersezione fra questo e X contiene almeno un elemento di X distinto da x ( d'altronde non è detto che x appartenga a X)
Inoltre si ha che un punto x è di accumulazione per un insieme X se e soltanto se esiste una successione Xn ad elementi di X, tale per cui:
xn è distinto da x per ogni n,
Xn converge ad x
E tutto ciò credo di averlo compreso abbastanza in profondità. D'altra parte, e certamente mi sto sbagliando io, mi pare che le tue risposte partino dall'assunto per cui X è chiuso, quando sto cercando di fare il "Viceversa". So che per dimostrare che C è chiuso potrei sfruttare il seguente:
C sottoinsieme di R è chiuso se e soltanto se ogni successione ad elementi di C convergente ha limite in C
Che è fondamentalmente un calcare la definizione da un altro punto di vista. D'altronde io parto col sapere che ogni successione ad elementi di C ammette una sottosuccessione che converge ad un elemento di C, da cui non riesco a trovare il collegamento per dire che la successione "madre" sia convergente. Potrei certo sfruttare la nozione per cui:
Se An è una successione regolare allora ogni sua estratta è regolare ed ha lo stesso limite.
D'altra parte dovrei sapere che la "madre" è regolare, ma cosa me lo dice?
Scusami se mi sono ripetuto, avevo bisogno di fare chiarezza. Grazie per star tentando di aiutarmi, oramai il mio cervello sta iniziando a rifiutare di ragionare su questo quesito eppure immagino che la soluzione sia, come ripete sempre il mio professore, banale
Allora... Mettiamo un po’ d’ordine.
Per definizione, $C subseteq RR$ è chiuso se e solo se esso contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
In $RR$ i punti di accumulazione di un insieme $C$ sono caratterizzati dal fatto di essere limiti di opportune successioni di elementi di $C$: in particolare, $x_0$ è di accumulazione per $C$ se e solo se esiste una successione $(x_n) subset C$ tale che:
\[
\forall n \in \mathbb{N},\ x_n \neq x_0 \text{ e } \lim_n x_n = x_0\;.
\]
Dunque si può dimostrare facilmente il seguente teorema:
Il teorema appena enunciato ti dà un criterio per dimostrare che un assegnato sottoinsieme $C$ di $RR$ è chiuso: prendi una qualsiasi successione $(x_n) subseteq C$ convergente verso un $x_0 in RR$ e cerchi di dimostrare che $x_0 in C$.
Se ci riesci, bene, l’insieme $C$ è chiuso; se no, devi ragionare in altro modo.
Questa è la strategia usata per dimostrare il teorema di cui sopra.
Più chiaro ora?
P.S.: Che studi?
Per definizione, $C subseteq RR$ è chiuso se e solo se esso contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
In $RR$ i punti di accumulazione di un insieme $C$ sono caratterizzati dal fatto di essere limiti di opportune successioni di elementi di $C$: in particolare, $x_0$ è di accumulazione per $C$ se e solo se esiste una successione $(x_n) subset C$ tale che:
\[
\forall n \in \mathbb{N},\ x_n \neq x_0 \text{ e } \lim_n x_n = x_0\;.
\]
Dunque si può dimostrare facilmente il seguente teorema:
Un sottoinsieme $C subseteq RR$ è chiuso se e solo se esso contiene il limite di ogni sua successione convergente, i.e. se e solo se per ogni successione $(x_n) subseteq C$ tale che $lim_n x_n = x_0 in RR$ risulta $x_0 in C$.
Il teorema appena enunciato ti dà un criterio per dimostrare che un assegnato sottoinsieme $C$ di $RR$ è chiuso: prendi una qualsiasi successione $(x_n) subseteq C$ convergente verso un $x_0 in RR$ e cerchi di dimostrare che $x_0 in C$.
Se ci riesci, bene, l’insieme $C$ è chiuso; se no, devi ragionare in altro modo.
Questa è la strategia usata per dimostrare il teorema di cui sopra.
Più chiaro ora?
P.S.: Che studi?
Chiaro chiaro. Il passaggio che mi confondeva era l'ultimo, pensavo di dover dimostrare che esistessero delle successioni convergenti prima di supporlo, d'altra parte mi sono reso conto che poiché siamo certi che qualcuno ne esista e queste hanno sottosuccessioni convergenti ad elementi di C, le quali sono esse stesse successione di elementi di C, allora possiamo dire certamente che ne esistono e procedere come mi ha descritto.
Comunque studio Fisica alla Federico II.
Comunque studio Fisica alla Federico II.
"Nota":
[...] pensavo di dover dimostrare che esistessero delle successioni convergenti prima di supporlo, d'altra parte mi sono reso conto che poiché siamo certi che qualcuna ne esista [...]
Perchè ne siamo certi?
[ot]
"Nota":
Comunque studio Fisica alla Federico II.
Ferone o Brandolini?
Così, per curiosità...[/ot]
Il mio ragionamento era il seguente:
Ci basta dimostrare che ne esiste una, poiché ciò che vogliamo dimostrare è che è possibile che esistano successioni di elementi di C che convergono ad un elemento di C, poi che ne sia una oppure infinite dipenderà dal caso particolare (devo ammettere che sto sentendo sempre piú il bisogno di approfondire la logica matematica, spero che il ragionamento fili perché non credo di saper andare piú in profondità). D'altronde è evidente che ne esistono, poiché per ipotesi sappiamo che ogni successione di C (convergente o no) deve ammettere una sottosuccessione convergente ad un elemento di C, e a meno che C non sia vuoto, è sempre possibile considerare una successione di elementi di C (se necessario, costante), ed essa deve ammettere una sottosuccessione convergente ad un elemento di C, che per definizione di sottosuccessione ha per sostegno un sottoinsieme del sostegno di quella "madre", ed è cioè una successione di elementi di C convergente ad un elemento in C.
La tua curiosità mi incuriosisce, lavori all'uni? Oppure sei soltanto andato a controllare sul sito? Prima di rispondere preferirei avere una risposta da te.
Ci basta dimostrare che ne esiste una, poiché ciò che vogliamo dimostrare è che è possibile che esistano successioni di elementi di C che convergono ad un elemento di C, poi che ne sia una oppure infinite dipenderà dal caso particolare (devo ammettere che sto sentendo sempre piú il bisogno di approfondire la logica matematica, spero che il ragionamento fili perché non credo di saper andare piú in profondità). D'altronde è evidente che ne esistono, poiché per ipotesi sappiamo che ogni successione di C (convergente o no) deve ammettere una sottosuccessione convergente ad un elemento di C, e a meno che C non sia vuoto, è sempre possibile considerare una successione di elementi di C (se necessario, costante), ed essa deve ammettere una sottosuccessione convergente ad un elemento di C, che per definizione di sottosuccessione ha per sostegno un sottoinsieme del sostegno di quella "madre", ed è cioè una successione di elementi di C convergente ad un elemento in C.
La tua curiosità mi incuriosisce, lavori all'uni? Oppure sei soltanto andato a controllare sul sito? Prima di rispondere preferirei avere una risposta da te.
Il tuo argomento non risponde alla domanda.
Perché sei sicuro che in $C$ esiste almeno una successione di elementi?
Perché sei sicuro che in $C$ esiste almeno una successione convergente di elementi?
Perché sei sicuro che in $C$ esiste almeno una successione di elementi?
Perché sei sicuro che in $C$ esiste almeno una successione convergente di elementi?
Devo ammettere, credevo di aver risposto a queste domande con il mio precedente messaggio, che si potrebbe sintetizzare in "per ipotesi", d'altra parte è una sintesi che vale a priori per ogni teorema.
Mi lascerei felicemente illuminare, anche perché sono inondato da teoremi di analisi I da studiare.
Mi lascerei felicemente illuminare, anche perché sono inondato da teoremi di analisi I da studiare.
Lasciando da parte il caso $C= emptyset$, non appena $C$ è non vuoto, esiste una successione di elementi di $C$ convergente in $C$: infatti, scelto $c in C$ e posto $a_n := c$ per ogni $n in NN$, si ha $(a_n) subseteq C$ e $a_n -> c in C$.
Se $C$ ha un unico elemento, quella suggerita sopra è l'unica successione possibile di elementi di $C$ ed è convergente.
Se, però, $C$ ha più di un solo elemento, allora esistono infinite successioni di elementi di $C$, alcune delle quali convergenti ed altre non convergenti. Prova a costruirne tu qualcuna.
Se $C$ ha un unico elemento, quella suggerita sopra è l'unica successione possibile di elementi di $C$ ed è convergente.
Se, però, $C$ ha più di un solo elemento, allora esistono infinite successioni di elementi di $C$, alcune delle quali convergenti ed altre non convergenti. Prova a costruirne tu qualcuna.
Nel caso in cui C contenesse 2 soli elementi distinti, diviene possibile costruire una successione che oscilli (all'infinito) fra i due elementi, indichiamola con Xn. Da questa successione sarebbe possibile estrarre le due successioni costanti, Xnk e Xmk, le quali, se con "a" e "b" indichiamo i due elementi di C, sarebbero, rispettivamente, costantemente uguali ad "a" ed a "b" al variare di k.
Poiché in ogni caso, "a" e "b" risultano "troppo distanti fra di loro", e cioè poichè è sempre possibile trovare un valore "L" tale per cui "L" < |a-b|, e poichè non vi sono altri punti oltre i due citati sopra, allora credo sia plausibile (ad intuito mi pare molto facile dimostrarlo per assurdo, in quanto, una successione convergente ad "a" o "b", certamente implicherebbe l'esistenza di altri (infiniti) valori in C, che ne è invece privo) dire che queste due successioni costanti e le loro estratte siano le uniche convergenti in un sottoinsieme di R che prende solo due elementi.
Poiché in ogni caso, "a" e "b" risultano "troppo distanti fra di loro", e cioè poichè è sempre possibile trovare un valore "L" tale per cui "L" < |a-b|, e poichè non vi sono altri punti oltre i due citati sopra, allora credo sia plausibile (ad intuito mi pare molto facile dimostrarlo per assurdo, in quanto, una successione convergente ad "a" o "b", certamente implicherebbe l'esistenza di altri (infiniti) valori in C, che ne è invece privo) dire che queste due successioni costanti e le loro estratte siano le uniche convergenti in un sottoinsieme di R che prende solo due elementi.
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