Dubbio su di una disuguaglianza

[maximus241]

Salve, ho dei dubbi su una disuguaglianza presente in questo esercizio (allegato) delle serie di funzioni:

Abbiamo \(\displaystyle sen(\frac{x}{n^{3}}) \)

Prima usa la disuguaglianza \(\displaystyle |sen(a)| \leq |a| \) e poi usa \(\displaystyle |sen(...)| \leq 1 \):

il dubbio è questo: quando usare una e quando usare l'altra? Ho notato che \(\displaystyle |sen(...)| \leq 1 \) l'ha usata quando stava calcolando il sup con \(\displaystyle x \in R \), mentre in un intervallo limitato [-M, M], usa \(\displaystyle |sen(a)| \leq |a| \).

Quindi, per usare una delle due è necessario contestualizzare sempre il dominio in cui si agisce?

[dan952]

Considera che quando ti avvicini all'origine venendo da destra la funzione $\sin x$ "rimane sotto" la bisettrice $y=x$ cioè $\sin x \leq x$ per $x>0$ mentre venendo da sinistra accade l'inverso, cioè la retta "rimane sotto".
Di solito si una $|\sin(x)|\leq |x| $ in luogo di $|\sin(x)| \leq 1$ (che vale in generale) perché si sta studiando il seno in $(-1,1)$ e in questo modo lo si può approssiamre meglio inoltre per $x \in (-\infty,-1) uu (1,+\infty)$ la disuguaglianza $|\sin(x)|\leq |x|$ è banale nonché inutile