Dubbio su derivate parziali

[MrMojoRisin891]

Salve, sono alle prime armi con il calcolo differenziale in due variabili, e mi sono bloccato in questo esercizio:
"Si calcolino le derivate parziali della funzione
$f(x,y)=\{((xy^2)/(x^2+y^2), if (x,y)!=(0,0)), (0, if (x,y)=(0,0)):}$
in ogni punto del piano (per l'origine, applicare la definizione).
Si calcolino poi, in base alla definizione, le derivate direzionali di $f$, nell'origine, rispetto al generico versore $(costheta,sintheta)$.
La formula del gradiente è verificata? Spiegare il risultato."

Ho calcolato le derivate parziali rispetto a entrambe le variabili, che mi vengono
$(delf)/(delx) = (y^2(y^2-x^2))/(x^2+y^2)^2$
$(delf)/(dely) = (2x^3y)/(x^2+y^2)^2$

Ma quando calcolo nell'origine mi viene $0/0$ anche applicando la definizione:
$(delf)/(delx) = d(0/x^2)/dx$, che in $x=0$ mi da la forma indeterminata...
Lo stesso vale per $y$...
Eppure, più avanti l'esercizio mi chiede di calcolare le derivate direzionali nell'origine, e questo mi fa pensare che quindi le derivate parziali esistano... Giusto?
Dove sbaglio?
Grazie

[gugo82]

Guarda, usando la definizione di derivata parziale in \((0,0)\), dubito fortemente che ti vengano fuori forme indeterminate nei limiti... Rifai bene i conti.

[MrMojoRisin891]

Forse ci sono!
Le derivate direzionali di $f$ nell'origine rispetto al versore generico $(costheta,sintheta)$ vengono
$costhetasin^2theta$?